Question

如圖，線段AL上有一點(diǎn)B，且AL=15cm，AB=3cm．點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段AL向終點(diǎn)L勻速運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以

4

5

cm/s的速度沿線段BL向終點(diǎn)L勻速運(yùn)動(dòng)．以AM為一邊在線段AL的上方作矩形AMCD，使AD=4cm；以BN為斜邊在AL的上方作等腰Rt△BNE．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）求兩點(diǎn)B、M重合時(shí)t的值．
（2）求t=5時(shí)BM的長度．
（3）當(dāng)矩形AMCD與△BNE有重疊部分時(shí)，求重疊（陰影）部分圖形的面積S（單位：cm²）與t的函數(shù)關(guān)系式．
（4）當(dāng)矩形AMCD的邊與等腰Rt△BNE相交時(shí)，沿矩形AMCD的邊把△BNE剪開，用得到的圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是梯形．請直接寫出所有符合上述條件的t值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）運(yùn)用時(shí)間=路程÷速度求解即可．
（2）利用BM═AM-AB求解．
（3）重疊（陰影）部分圖形的面積S（單位：cm²）與t的函數(shù)關(guān)系式，分三種情況求解：）①當(dāng)3≤t＜5時(shí)，矩形AMCD的邊MC與△BNE的邊BE的交點(diǎn)為F，②當(dāng)5≤t＜10時(shí)，矩形AMCD的邊MC與△BNE的邊EN的交點(diǎn)為F，③當(dāng)10≤t≤15時(shí)，矩形AMCD的邊MC與△BNE的邊EN的交點(diǎn)為F，分別利用面積關(guān)系求解．
（4）沿矩形AMCD的邊把△BNE剪開，用得到的圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是梯形，條件的t值分三種情況：①當(dāng)矩形AMCD的邊MC與EB中點(diǎn)重合時(shí)，②當(dāng)矩形AMCD的邊MC與EN中點(diǎn)重合時(shí)，③當(dāng)△KEH的邊KE等于△MNF的邊MN時(shí)，利用方程分別求解即可．

解答：解：（1）∵AB=3cm，M從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段AL向終點(diǎn)L勻速運(yùn)動(dòng)，
∴兩點(diǎn)B、M重合時(shí)t的值為：3÷1=3秒；
（2）∵M(jìn)從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段AL向終點(diǎn)L勻速運(yùn)動(dòng)，
∴t=5時(shí)．AM=5×1=5cm，
∴BM=AM-3=5-3=2cm；
（3）①如圖1，當(dāng)3≤t＜5時(shí)，矩形AMCD的邊MC與△BNE的邊BE的交點(diǎn)為F，

∵△BFM是等腰直角三角形，BM=t-3，
∴重疊（陰影）部分三角形的高為MF=BM=t-3，
∴S=

1

2

（t-3）²，
②如圖2，當(dāng)5≤t＜10時(shí)，矩形AMCD的邊MC與△BNE的邊EN的交點(diǎn)為F，

∵BN=

4

5

t，△EBN的高=

1

2

BN，MN=

4

5

t+3-t=3-

1

5

t，MF=MN=3-

1

5

t，
∴S=S_△BNE-S_△MNF=

1

2

×

4

5

t×（

1

2

×

4

5

t）-

1

2

（3-

1

5

t）²=

7

50

t²+

3

5

t-

9

2

，
③如圖3，當(dāng)10≤t≤15時(shí)，矩形AMCD的邊MC與△BNE的邊EN的交點(diǎn)為F，

S_△EKH=

1

2

×（

2

5

t-4）×2×（

2

5

t-4）=(

2

5

t-4)2，S_△MNF=

1

2

（3+

4

5

t-t）²=

1

2

（3-

1

5

t）²，
S=S_△BNE-S_△MNF-S_△EKF=

1

2

×

4

5

t×

2

5

t-(

2

5

t-4)2-

1

2

（3-

1

5

t）²=-

1

50

t2+

19

5

t-

41

2

；
（4）①當(dāng)矩形AMCD的邊MC與EB中點(diǎn)重合時(shí)，

4

5

t×

1

4

+3=t，解得t=

15

4

．
②當(dāng)矩形AMCD的邊MC與EN中點(diǎn)重合時(shí)，

4

5

t×

3

4

+3=t，解得t=

15

2

．
③當(dāng)△KEH的邊KE等于△MNF的邊MN時(shí)，

2

（

2

5

t-4）=3+

4

5

t-t，解得t=

10 2 +65

7

．
綜上所述符合條件的t值為．t₁=

15

4

，t₂=

15

2

，t₃=

10 2 +65

7

．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似形綜合題，涉及三角形的面積，梯形的面積及方程等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是陰影部分的面積及求時(shí)間分三種情況討論，不要漏解．