Question

設(shè)直線y=-x+b（b＞0）與開口向上的拋物線y=ax²相交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與x軸相交于C（x₃，0），與y軸相交于點(diǎn)D．
（1）求證：

1

x1

+

1

x2

=

1

x3

，y₁y₂=b²；
（2）當(dāng)B為DC的中點(diǎn)時，求ab的值；
（3）取a=1，當(dāng)AD：DB=2：1時，求b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由題意可知x₁，x₂是方程ax²+x-b=0的兩根，再由根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=-

1

a

，x₁•x₂=-

b

a

，進(jìn)而可證明

1

x1

+

1

x2

=

1

x3

，y₁y₂=b²；
（2）根據(jù)已知條件可求出B的坐標(biāo)，再把B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求出ab的值；
（3）過A點(diǎn)作AF⊥x軸于F，因?yàn)锳D：BD=2：1，所以可求出OF：OE=2：1，即 x₁：x₂=-2：1，進(jìn)而可求出b的值．

解答：（1）證明：∵a、b是直線y=-x+b與拋物線的交點(diǎn)，
∴（x₁，y₁），（x₂，y₂）是方程組

y=-x+b y=ax2

的解，
∴x₁，x₂是方程ax²+x-b=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=-

1

a

，x₁•x₂=-

b

a

，又∵直線y=-x+b與x軸交于點(diǎn)c（x₃，0），∴x₃=b，
∴

1

x1

+

1

x2

=

1

b

，
∵

1

x3

=

1

b

，
∴

1

x1

+

1

x2

=

1

x3

，
∴y₁y₂=ax₁²•ax₂²=a²•（x₁•x₂）²=a²•（-

b

a

）²=b²；
（2）作BE⊥x軸于E，
∵BD=BC，
∴BE=

1

2

OD，OE=

1

2

OC，
∵D（0，b），C（b，0），
∴b（

1

2

b，

1

2

b）．
又∵點(diǎn)b在拋物線y=ax²上，
∴

1

2

b=a•（

1

2

b）²
∴ab=2．
（3）過A點(diǎn)作AF⊥x軸于F，
∵AD：BD=2：1，
∴OF：OE=2：1，
∴x₁：x₂=-2：1，
又∵x₁+x₂=-

1

a

=-1．
∴x₁=-2，x₂=1，
∴b=-x₁•x₂=2．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，此類問題常見的形式和解題方法是：①用待定系數(shù)法列出關(guān)于函數(shù)解析中待定系數(shù)的方程（組），通過解方程（組）求出特定系數(shù)的值；②將函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)與方程的根對應(yīng)起來；③利用函數(shù)研究方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系；④利用函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解之間的關(guān)系及根與系數(shù)關(guān)系解題．