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【題目】如圖，∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一個以點C為頂點的45°角繞點C旋轉，角的兩邊與BA，DA交于點M，N，與BA，DA的延長線交于點E，F，連接AC.

（1）在∠FCE旋轉的過程中，當∠FCA=∠ECA時，如圖1，求證：AE=AF；

（2）在∠FCE旋轉的過程中，當∠FCA≠∠ECA時，如圖2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示線段AE，AF之間的數量關系，并證明.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先證明△ABC≌△ADC，然后再證明△ACF≌△ACE即可得；

（2）過點C作CG⊥AB于點G，先求出AC的長，再證明△ACF∽△AEC，根據相似三角形的性質即可得.

試題解析：（1）∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，

∴∠BAC=∠DAC=45°，∴180°-∠BAC=180°-∠DAC，∴∠FAC=∠EAC=135°，

又∵∠FCA=∠ECA，

∴△ACF≌△ACE，

∴AE=AF；

（2）過點C作CG⊥AB于點G，則∠BGC=∠AGC=90°，

∵∠B=30°，∴CG=BC==1，

∵∠BAC=45°，∴AC= =，

∵∠FAC=∠EAC=135°，∴∠ACF+∠F=45°，

又∵∠ACF+∠ACE=45°，∴∠F=∠ACE，

∴△ACF∽△AEC，

∴，即，

∴.

練習冊系列答案
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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，矩形DEFG的頂點G、F分別在AC、BC上，DE在AB上．

（1）求證：△ADG∽△FEB；

（2）若AG＝5，AD＝4，求BE的長．

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A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④

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【題目】在我國古代數學著作《九章算術》中記載了這樣一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現代語言表述為：如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，AE = 1寸，CD = 10寸，求直徑AB的長．請你解答這個問題.

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【題目】某商店需要購進甲、乙兩種商品共180件其進價和售價如表：（注：獲利=售價進價）

（1）若商店計劃銷售完這批商品后能獲利1240元，問甲、乙兩種商品應分別購進多少件？

（2）若商店計劃投入資金少于5040元，且銷售完這批商品后獲利多于1312元，請問有哪幾種購貨方案？并直接寫出其中獲利最大的購貨方案.

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【題目】在等邊三角形ABC中，BC=6cm，射線AG//BC，點E從點A出發(fā)，沿射線AG以1cm/s的速度運動，同時點F從點B出發(fā)，沿射線BC以2cm/s的速度運動，設運動時間為t，當t為( )s時，以A，F，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？（ ）

A.2B.3C.6D.2或6

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【題目】如圖，點、分別在射線、上運動（不與點重合）.

（1）如圖1，若，、的平分線交于點，求的度數；

（2）如圖2，若，的外角、的平分線交于點，則等于______度（用含字母的代數式表示）；

（3）如圖3，若，是的平分線，的反向延長線與的平分線交于點.試問：隨著點、的運動，的大小會變嗎？如果不會，求的度數；如果會，請說明理由.

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【題目】點的“值”定義如下：若點為圓上任意一點，線段長度的最大值與最小值之差即為點的“值”，記為.特別的，當點， 重合時，線段的長度為0.

當⊙的半徑為2時：

（1）若點， ，則_________， _________；

（2）若在直線上存在點，使得，求出點的橫坐標；

（3）直線與軸， 軸分別交于點， .若線段上存在點，使得，請你直接寫出的取值范圍.

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【題目】某服裝店用6000元購進A、B兩款新式服裝，按標價出售后可獲毛利潤3800元（利潤=售價-進價），這兩款服裝的進價、標價如下表所示：

(1)求這兩種服裝各購進的件數；

(2)由于市場競爭激烈，A款服裝只能按標價的9折出售，B款服裝只能按標價的8折出售，那么這批服裝全部售完后，服裝店毛利潤是多少元？

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