Question

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2，4）在經(jīng)過原點(diǎn)的直線上，過A作直線OA的垂線交y軸于點(diǎn)B．
（1）求直線OA的解析式；
（2）求B點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若拋物線y=a（x+m）²+k的頂點(diǎn)總是落在線段AB上，且它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)落在（1，0）與（2，0）之間（包括這兩點(diǎn)）．
當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)A（-2，4），與x軸交于（2，0）時(shí)，拋物線開口最大；
當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)B，與x軸交于（

 

，

 

）時(shí)，拋物線開口最小；
∴a的取值范圍是：

 

 （直接寫出答案）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)直線OA的解析式為y=kx，將A（-2，4）代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線OA的解析式；
（2）過A點(diǎn)作AC⊥y軸于點(diǎn)C，則∠ACB=∠OCA=90°，先由同角的余角相等得出∠AOC=∠CAB，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△ACB∽△OCA，于是

AC

CO

=

BC

AC

，由此求出BC=1，進(jìn)而得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）；
（3）將頂點(diǎn)A（-2，4）代入y=a（x+m）²+k，得到y(tǒng)=a（x+2）²+4，再將（2，0）代入，求出拋物線開口最大時(shí)的a值；當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為B時(shí)，對稱軸為y軸，此時(shí)由題意可知當(dāng)拋物線與x軸交于（1，0），（-1，0）時(shí)，拋物線開口最小，求出此時(shí)a的值，那么a的取值范圍介于這兩者之間．

解答：解：（1）設(shè)直線OA的解析式為y=kx，
將A（-2，4）代入，得-2k=4，
解得k=-2，
故直線OA的解析式為y=-2x；

（2）過A點(diǎn)作AC⊥y軸于點(diǎn)C，則∠ACB=∠OCA=90°．
∵∠OAB=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，∠CAB+∠OAC=90°，
∴∠AOC=∠CAB．
在△ACB與△OCA中，

∠ACB=∠OCA=90° ∠AOC=∠CAB

∴△ACB∽△OCA，
∴

AC

CO

=

BC

AC

，即

2

4

=

BC

2

，
解得BC=1，
∴OB=OC+BC=4+1=5，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）；

（3）∵將頂點(diǎn)A（-2，4）代入y=a（x+m）²+k，得到y(tǒng)=a（x+2）²+4，
再將（2，0）代入，得0=a（2+2）²+4，
解得a=-

1

4

，此時(shí)拋物線開口最大；
當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為B（0，5）時(shí)，解析式為y=ax²+5，
那么當(dāng)此拋物線與x軸交于（1，0），（-1，0）時(shí)，拋物線開口最小，
將（1，0）代入y=ax²+5，得0=a×1²+5，
解得a=-5；
∴a的取值范圍是：-5＜a＜-

1

4

．
故答案為1，0；-5＜a＜-

1

4

．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，難度適中．