Question

2．學(xué)校需要購買一批籃球和足球，已知一個籃球比一個足球的價格高30元．買兩個籃球和三個足球共需510元．
（1）求籃球和足球的單價；
（2）根據(jù)需要，學(xué)校決定購買籃球和足球共100個，其中籃球的數(shù)量不少于足球數(shù)量的$\frac{2}{3}$，用于購買這批籃球和足球的資金不超過10300元，請問有哪幾種購買方案？并指出其中費用最低的方案．

Answer 1

分析 （1）設(shè)籃球的單價為x元，足球的單價為y元，根據(jù)“一個籃球比一個足球的價格高30元．買兩個籃球和三個足球共需510元．”即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購買籃球m個，則購買足球（100-m）個，根據(jù)“籃球的數(shù)量不少于足球數(shù)量的$\frac{2}{3}$，用于購買這批籃球和足球的資金不超過10300元．”即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解不等式組即可得出m的取值范圍，結(jié)合m為整數(shù)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)籃球的單價為x元，足球的單價為y元，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{x-y=30}\\{2x+3y=510}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=120}\\{y=90}\end{array}\right.$．
答：籃球的單價為120元，足球的單價為90元．
（2）設(shè)購買籃球m個，則購買足球（100-m）個，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{m≥\frac{2}{3}（100-m）}\\{120m+90（100-m）≤10300}\end{array}\right.$，
解得：40≤m≤$\frac{130}{3}$，
∵m為整數(shù)，
∴m=40，41，42，43．
∴有四種購買方案：方案一：購買籃球40個、足球60個；方案二：購買籃球41個、足球59個；方案三：購買籃球42個、足球58個；方案四：購買籃球43個，足球57個．
∵籃球120元一個，足球90元一個，
∴方案一最省錢，即購買籃球40個、足球60個．

點評 本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出關(guān)于x、y的二元一次方程組；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出關(guān)于m的一元一次不等式組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出方程組（或不等式組）是關(guān)鍵．