Question

已知：方程

x-1

x-2

-

x-3

x-4

=

x-2

x-3

-

x-4

x-5

的解是x=

7

2

，方程

1

x-7

-

1

x-5

=

1

x-6

-

1

x-4

的解是x=

11

2

，試猜想：
（1）方程

1

x-7

+

1

x-1

=

1

x-6

+

1

x-2

的解；
（2）方程

1

x+a

-

1

x+b

=

1

x+c

-

1

x+d

的解（a、b、c、d表示不同的數(shù)）．

Answer 1

考點：分式方程的解

專題：

分析：通過解題目中已知的兩個方程的過程可以歸納出方程的解與方程中的常數(shù)之間的關(guān)系，利用這個關(guān)系可得出兩個方程的解．

解答：解：
解方程

x-1

x-2

-

x-3

x-4

=

x-2

x-3

-

x-4

x-5

，先左右兩邊分別通分可得：

(x-1)(x-4)-(x-2)(x-3)

(x-2)(x-4)

=

(x-2)(x-5)-(x-3)(x-4)

(x-3)(x-5)

，
化簡可得：

-1×(-4)-(-2)×(-3)

x2-6x+8

=

-2×(-5)-(-3)×(-4)

x2-8x+15

，
整理可得：2x=15-8，
解得：x=

7

2

，
這里的7即為（-3）×（-5）-（-2）×（-4），這里的2即為[-2+（-4）]-[-3+（-5）]；
解方程

1

x-7

-

1

x-5

=

1

x-6

-

1

x-4

，先左右兩邊分別為通分可得：

x-5-(x-7)

(x-7)(x-5)

=

x-4-(x-6)

(x-4)(x-6)

，
化簡可得：

2

x2-12x+35

=

2

x2-10x+24

，
解得：x=

11

2

，
這里的11即為（-7）×（-5）-（-4）×（-6），這里的2即為[-4+（-6）]-[-7+（-5）]；
所以可總結(jié)出規(guī)律：方程解的分子為右邊兩個分中的常數(shù)項的積減去左邊兩個分母中的常數(shù)項的積，解的分母為左邊兩個分母中的常數(shù)項的差減去右邊兩個分母中常數(shù)項的差．
（1）先把方程分為兩邊差的形式：方程

1

x-7

-

1

x-2

=

1

x-6

-

1

x-1

，
由所總結(jié)的規(guī)律可知方程解的分子為：（-1）×（-6）-（-7）×（-2）=-8，分母為[-7+（-2）]-[-6+（-1）]=-2，所以方程的解為x=

8

2

=4；
（2）由所總結(jié)的規(guī)律可知方程解的分子為：cd-ab，分母為（a+b）-（c+d），所以方程的解為x=

cd-ab

(a+b)-(c+d)

．

點評：本題主要考查閱讀所給知識，歸納方法規(guī)律的能力．解題的關(guān)鍵是由所給的兩個方程總結(jié)出方程的解與已知方程中各分母中的關(guān)系．