Question

已知一次函數(shù)y=-

1

2

x+4與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，P為AB的中點(diǎn)．                         
（1）Q若是坐標(biāo)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求Q的坐標(biāo)；
（2）若M是x軸上一點(diǎn)，L=PM+AM，當(dāng)L為最短時(shí)，求M點(diǎn)坐標(biāo)和L的長(zhǎng)度；     
（3）若N點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，當(dāng)△PBN∽△AOB時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）分類討論：當(dāng)QB=PB，PB=PQ，當(dāng)QB=PQ，根據(jù)等腰三角形的定義，可得答案；
（2）根據(jù)對(duì)稱軸上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，可得AM+PM=AM+MC=PC，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，可得答案，根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線PC，根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得PN與BN的關(guān)系，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=4，A（0，4），
當(dāng)y=0時(shí)，-

1

2

x+4=0，解得x=8，B（8，0）．
P為AB的中點(diǎn)，得P（4，2），
PB=

(8-4)2+(0-2)2

=2

5

．
當(dāng)QB=PB時(shí)，Q（8+2

5

，0），（8-2

5

，0），
當(dāng)PB=PQ時(shí)，Q（0，0），
當(dāng)QB=PQ時(shí)，設(shè)Q（t，0），
|8-t|=

(4-t)2+22

，
解得t=

11

2

，Q（

11

2

，0）；
（2）如圖1：，
A、C關(guān)于x軸對(duì)稱，CM=AM．
設(shè)直線PC的解析式是y=kx+b，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)P（4，2），C（0，-4），

4k+b=2 b=-4

，解得

k= 3 2 b=-4

，
直線PC的解析式是y=

3

2

x-4，
當(dāng)y=0時(shí)，

3

2

x-4=0，解得x=

8

3

，
即M（

8

3

，0），
L=AM+PM=PC=

(4-0)2+(2+4)2

=2

13

；

（3）當(dāng)△PBN∽△AOB時(shí)，

PN

AO

=

BN

BO

，

PN

BN

=

AO

BO

=

1

2

，BN=2PN，
由勾股定理，得
PN²+NB²=PB²，
即5PN²=20，
解得PN=2，BN=4，ON=B0-BN=4，
即N（4，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，（1）利用了等腰三角形的定義，（2）利用了軸對(duì)稱的性質(zhì)，（3）利用了相似三角形的性質(zhì)．