【題目】在△ABC中,∠A90°,ABAC.
(1)如圖1,△ABC的角平分線BD,CE交于點Q,請判斷“”是否正確:________(填“是”或“否”);
(2)點P是△ABC所在平面內的一點,連接PA,PB,且PB PA.
①如圖2,點P在△ABC內,∠ABP30°,求∠PAB的大小;
②如圖3,點P在△ABC外,連接PC,設∠APCα,∠BPCβ,用等式表示α,β之間的數(shù)量關系,并證明你的結論.
【答案】(1)否;(2)①45°;②.
【解析】試題分析:
(1)如圖4,把△AQC順時針旋轉90°得到△AQ1B,連接QQ1,則由題意易得QQ1=AQ,由已知條件可證∠BQ1Q∠Q1BQ,從而可得BQQQ1=AQ;
(2)①如圖5,過點PD⊥AB于點,結合∠ABP=30°可得PD=PB,結合PB=PA可得PD=PA,由此即可得到sin∠PAB=,結合∠PAB是銳角即可得到∠PAB=45°;
②如圖6,把△ABP繞點A逆時針旋轉90°得到△ACD,連接DC,DP,則由旋轉的性質可得: ∠1=∠2,PB=CD,∠DAP=90°,AD=AP,由此可得PD=PA,結合PB=PA可證得PD=DC,從而得到∠PCD=∠CPD=45°+α,由此可得∠3=180°-2∠CPD=90°-2α,結合∠1=∠2= ,可得∠1+∠3=90°- =∠ADP=45°,變形即可得到: .
試題解析:
(1)如圖4,把△AQC繞點A順時針旋轉90°得到△AQ1B,連接QQ1,
由旋轉的性質可得:AQ1=AQ,∠Q1AQ=90°,
∴QQ1=AQ,
∵BQ、CQ分別平分∠ABC、∠ACB,
∴AQ平分∠BAC,
∴∠AQ1C=∠AQC=112.5°,
∴∠BQ1Q=112.5°-45°=67.5°,
∵∠Q1BQ=45°,
∴∠Q1BQ∠BQ1Q,
∴BQQ1Q=AQ.
故答案為:“否”;
(2)① 如圖5,作PD⊥AB于D,則∠PDB=∠PDA=90°,
∵ ∠ABP=30°,
∴.
∵,
∴.
∴.
又∵∠PAB是銳角,
∴∠PAB=45°.
②,理由如下:
如圖6,把△ABP繞點A逆時針旋轉90°得到△ACD,連接DC,DP,則由旋轉的性質可得: ∠1=∠2,PB=CD,∠DAP=90°,AD=AP,
∴,∠ADP=∠APD=45°.
又∵,
∴ PD=PB=CD.
∴ ∠DCP=∠DPC.
∵ ∠APCα,∠BPCβ,
∴, .
∴.
∴.
∴.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線 (a≠0)的對稱軸為直線x=1,與x軸的一個交點坐標為(﹣1,0),其部分圖象如圖所示,下列結論:
①4ac<b2;
②方程 的兩個根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④當y>0時,x的取值范圍是﹣1≤x<3
⑤當x<0時,y隨x增大而增大
其中結論正確的個數(shù)是( 。
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(10分)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,點F為BE中點,連結DF、CF.
(1)如圖1, 當點D在AB上,點E在AC上,請直接寫出此時線段DF、CF的數(shù)量關系和位置關系(不用證明);
(2)如圖2,在(1)的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉45°時,請你判斷此時(1)中的結論是否仍然成立,并證明你的判斷;
(3)如圖3,在(1)的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉90°時,若AD=1,AC=,求此時線段CF的長(直接寫出結果).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下面是“作一個30°角”的尺規(guī)作圖過程.
已知:平面內一點A.
求作:∠A,使得∠A30°.
作法:如圖,
(1)作射線AB;
(2)在射線AB上取一點O,以O為圓心,OA為半徑作圓,與射線AB相交于點C;
(3)以C為圓心,OC為半徑作弧,與⊙O交于點D,作射線AD.
∠DAB即為所求的角.
請回答:該尺規(guī)作圖的依據(jù)是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中, , °,點D是線段BC上的動點,將線段AD繞點A順時針旋轉50°至,連接.已知AB2cm,設BD為x cm,B為y cm.
小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究,下面是小明的探究過程,請補充完整.(說明:解答中所填數(shù)值均保留一位小數(shù))
(1)通過取點、畫圖、測量,得到了與的幾組值,如下表:
0.5 | 0.7 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.3 | ||
1.7 | 1.3 | 1.1 | 0.7 | 0.9 | 1.1 |
(2)建立平面直角坐標系,描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點,畫出該函數(shù)的圖象.
(3)結合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:
線段的長度的最小值約為__________ ;
若 ,則的長度x的取值范圍是_____________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商場出售一批進價為2元的賀卡,在市場營銷中發(fā)現(xiàn)此商品的日銷售單價x(元)與日銷售量y(個)之間有如下關系:
日銷售單價x(元) | 3 | 4 | 5 | 6 |
日銷售量y(個) | 20 | 15 | 12 | 10 |
(1)猜測并確定y與x之間的函數(shù)關系式,并畫出圖象;
(2)設經(jīng)營此賀卡的銷售利潤為W元,求出W與x之間的函數(shù)關系式,
(3)若物價局規(guī)定此賀卡的售價最高不能超過10元/個,請你求出當日銷售單價x定為多少時,才能獲得最大日銷售利潤?最大利潤是多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】古代阿拉伯數(shù)學家泰比特·伊本·奎拉對勾股定理進行了推廣研究:如圖(圖1中為銳角,圖2中為直角,圖3中為鈍角).
在△ABC的邊BC上取, 兩點,使,則∽∽, , ,進而可得 ;(用表示)
若AB=4,AC=3,BC=6,則 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】點P(t,0)是x軸上的動點,Q(0,2t)是y軸上的動點.若線段PQ與函數(shù)y=﹣|x|2+2|x|+3的圖象只有一個公共點,則t的取值是_____________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2-5x+c的圖象如圖所示.
(1)試求該二次函數(shù)的解析式和它的圖象的頂點坐標;
(2)觀察圖象回答,x何值時y的值大于0?
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