【題目】若拋物線Ly=ax2+bx+ca,bc是常數(shù),a≠0)的頂點P在直線l上,則稱該拋物線L與直線l具有“一帶一路關(guān)系”,此時,拋物線L叫做直線l的“帶線”,直線l叫做拋物線L的“路線”.

求“帶線”Ly=x2﹣2mx+m2+m﹣1(m是常數(shù))的“路線”l的解析式;

若某“帶線”Ly=x2+bx+c的頂點在二次函數(shù)y=x2+4x+1的圖象上,它的“路線”l的解析式為y=2x+4.

求此“帶線”L的解析式;

設(shè)“帶線”L與“路線”l的另一個交點為Q,點RPQ之間的“帶線”L上,當點R到“路線”l的距離最大時,求點R的坐標.

【答案】(1)y=x﹣1;(2)y=x2x+y=x2+3x+;點R的坐標為(3,8)或(﹣1,0).

【解析】

(1)先配方得到拋物線y=x2-2mx+m2+m-1的頂點坐標,則根據(jù)新定義得到帶線”L的頂點為(m,m-1),然后利用橫縱坐標之間的關(guān)系可確定路線”l的解析式;(2)①根據(jù)新定義帶線”L:y=x2+bx+c的頂點在路線”l,則可設(shè)帶線”L:y=x2+bx+c的頂點為(x,2x+4),再把(x,2x+4)代入y=x2+4x+12x+4=x2+4x+1,解方程求出x就看得到帶線”L:y=x2+bx+c的頂點坐標,然后利用頂點式可得帶線”L的解析式;②討論:當帶線”L解析式為y=x2-x+ 時,通過解方程組Q的坐標為(5,14),由于要使點R到線段PQ的距離最大,只要SRPQ最大,作PHy軸交PQH,設(shè)R(x,x2-x+),則H(x,2x+4),利用三角形面積公式,SRPQ=(2x+4-x2+x-)(5-1),然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解;若帶線”L解析式為y=x2+3x+ 時,利用同樣的方法可確定點R的坐標.

1)y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=(x﹣m)2+m﹣1,

帶線”L的頂點為(m,m﹣1),

路線”l的解析式為y=x﹣1;

(2)①設(shè)帶線”L:y=x2+bx+c的頂點為(x,2x+4).

把(x,2x+4)代入y=x2+4x+12x+4=x2+4x+1,解得x1=1,x2=﹣3.

帶線”L:y=x2+bx+c的頂點為(1,6)或(﹣3,﹣2).

帶線”L的解析式為y=(x﹣1)2+6y=(x+3)2﹣2,

y=x2﹣x+y=x2+3x+;

②若帶線”L解析式為y=x2﹣x+時,解方程組 ,則帶線”L路線”l的另一個交點Q的坐標為(5,14),

要使點R到線段PQ的距離最大,只要SRPQ最大,

PHy軸交PQH,設(shè)R(x,x2﹣x+),則H(x,2x+4)

SRPQ=(2x+4﹣x2+x﹣)(5﹣1)=﹣x2+6x+3=﹣(x﹣3)2+13.

∴當x=3時,SRPQ有最大值,此時點R的坐標為(3,8);

帶線”L解析式為y=x2+3x+時,同理可得點R的坐標為(﹣1,0).

∴點R的坐標為(3,8)或(﹣1,0).

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(2)設(shè)商場老板每月獲得的利潤為P(元),求P與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

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