Question

14．如圖，一個(gè)粒子在第一象限和x，y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，在第一秒內(nèi)，它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到（0，1），接著它按圖所示在x軸、y軸的平行方向來回運(yùn)動(dòng)，[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…]且每秒運(yùn)動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，那么2015秒時(shí)，這個(gè)粒子所處位置為（9，44）．

Answer 1

分析 該題是點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，通過對(duì)部分點(diǎn)分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)質(zhì)上是數(shù)列問題．設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)到A₁，A₂，…A_n時(shí)所用的間分別為a₁，a₂，…a_n，則a₁=2，a₂=6，a₃=12，a₄=20，…，由a_n-a_n-1=2n，則
a₂-a₁=2×2，
a₃-a₂=2×3，
a₄-a₃=2×4，
…，
a_n-a_n-1=2n，
以上相加得到a_n-a₁的值，進(jìn)而求得a_n來解．

解答 解：由題意，
設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)到A₁，A₂，…，A_n時(shí)所用的間分別為a₁，a₂，…，a_n，
則a₁=2，a₂=6，a₃=12，a₄=20，…，a_n-a_n-1=2n，
a₂-a₁=2×2，
a₃-a₂=2×3，
a₄-a₃=2×4，
…，
a_n-a_n-1=2n，
相加得：
a_n-a₁=2（2+3+4+…+n）=n²+n-2，
∴a_n=n（n+1）．
44×45=1980，故運(yùn)動(dòng)了1980秒時(shí)它到點(diǎn)A₄₄（44，44）；
又由運(yùn)動(dòng)規(guī)律知：A₁，A₂，…，A_n中，奇數(shù)點(diǎn)處向下運(yùn)動(dòng)，偶數(shù)點(diǎn)處向左運(yùn)動(dòng)．
故達(dá)到A₄₄（44，44）時(shí)向左運(yùn)動(dòng)35秒到達(dá)點(diǎn)（9，44），
即運(yùn)動(dòng)了2015秒．所求點(diǎn)應(yīng)為（9，44）．
故答案為：（9，44）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，分析粒子在第一象限的運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到數(shù)列{a_n}通項(xiàng)的遞推關(guān)系式a_n-a_n-1=2n是本題的突破口，本題對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的探索可知知：A₁，A₂，…A_n中，奇數(shù)點(diǎn)處向下運(yùn)動(dòng)，偶數(shù)點(diǎn)處向左運(yùn)動(dòng)，找到這個(gè)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．