Question

8．如圖，已知△ABC中，AB=AC，將△ABC沿著EF折疊，使點B落在邊AC上，記為點D，且DF=DC．
（1）求證：四邊形EBFD是菱形；
（2）求證：$\frac{AB}{BC}$=$\frac{AD}{DC}$．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠C=∠DFC，證出BE∥DF，得出∠ABC+∠BFD=180°，由折疊的性質(zhì)得：BE=DE，∠EDF=∠ABC，證出DE∥BC，得出四邊形EBFD是平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（2）由平行線得出得出△ADE∽△ABC，得出比例式$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{DE}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，證出AE=AD，再由菱形的性質(zhì)得出DE=DF=DC，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB=AC，DF=DC，
∴∠ABC=∠C=∠DFC，
∴BE∥DF，
∴∠ABC+∠BFD=180°，
由折疊的性質(zhì)得：BE=DE，∠EDF=∠ABC，
∴∠EDF+∠BFD=180°，
∴DE∥BC，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∵BE=DE，
∴四邊形EBFD是菱形；
（2）證明：由（1）得：DE∥BC，四邊形EBFD是菱形，
∴△ADE∽△ABC，DE=DF=DC，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{DE}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∵AB=AC，
∴AE=AD，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{AD}{DC}$．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、平行四邊形的判定、翻折變換的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握翻折變換和等腰三角形的性質(zhì)，證明四邊形EBFD是菱形是解決問題的關(guān)鍵．