Question

【題目】在正方形ABCD中，點M是射線BC上一點，點N是CD延長線上一點，且BM＝DN，直線BD與MN交于點E．

（1）如圖1．當點M在BC上時，為證明“BD﹣2DE＝BM”這一結論，小敏添加了輔助線：過點M作CD的平行線交BD于點P．請根據這一思路，幫助小敏完成接下去的證明過程．

（2）如圖2，當點M在BC的延長線上時，則BD，DE，BM之間滿足的數量關系是　 　．

（3）在（2）的條件下，連接BN交AD于點F，連接MF交BD于點G，如圖3，若 CM＝2，則線段DG＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BD+2DE＝BM；（3）.

【解析】

（1）過點M作MP∥CD，交BD于點P，推出PM=DN，證明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根據正方形的性質和勾股定理求出即可；
（2）過點M作MP∥CD交BD的延長線于點P，推出BM＝PM＝DN，根據AAS證明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根據正方形的性質和勾股定理求出即可；
（3）證明△ABF∽△DNF，得出比例式，得到AB：ND＝1：2，設AB＝x，則DN＝2x，

根據BM＝DN，列出方程求出AB的長度，根據DF∥BM，得到即可求解.

解：（1）如圖1，過點M作MP∥CD，交BD于點P，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠C＝90°，∠CBD＝∠CDB＝45°，

∵PM∥CD，

∴∠NDE＝∠MPE，∠BPM＝∠CDB＝45°，

∴△BPM是等腰直角三角形，

∴PM＝BM，

∵BM＝DN，

∴PM＝DN，

在△EPM和△EDN中，

∴△EPM≌△EDN（AAS），

∴EP＝ED，

∴PB＝BD﹣PD＝BD﹣2DE，

根據勾股定理得：

即

（2）如圖2，過點M作MP∥CD交BD的延長線于點P，

∴∠PMB＝∠BCD＝90°，

∵∠CBD＝45°，

∴△BMP是等腰直角三角形，

∴BM＝PM＝DN，

與（1）證法類似：△EPM≌△EDN（AAS），

∴EP＝ED，

∴PB＝BD+PD＝BD+2DE，

根據勾股定理得：BP＝BM，

即BD+2DE＝BP＝BM，

故答案為：BD+2DE＝BM；

（3）如圖3，∵∥CD，

∴AB∥DN，

∴△ABF∽△DNF，

∴AF：FD＝AB：ND，

∵AF：FD＝1：2，

∴AB：ND＝1：2，

設AB＝x，則DN＝2x，

∵BM＝DN，

∴x+2＝2x，x＝2，

∴AB＝AD＝2，DF＝，

∴

∵DF∥BM，

∴

∴

故答案為：