Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²-2x-1的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點P，且經(jīng)過點E（3，2）．
（1）拋物線上是否存在一點M，使△ABM為直角三角形？若存在，求出M點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（2）拋物線上是否存在一點F，使得△PEF是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點F的坐標(biāo)及△PEF的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由拋物線的形狀可知，如果△ABM為直角三角形，那么直角頂點只能是點M．設(shè)M點的坐標(biāo)為（x，x²-2x-1），過M點作MN⊥AB于N，由△AMN∽△MBN，得出MN²=AN•BN，由此列出方程（x²-2x-1）²=（x-1+

2

）（

2

+1-x），解方程即可；
（2）先由y=x²-2x-1，求出P點坐標(biāo)為（0，-1），再利用待定系數(shù)法求出直線PE的解析式為y=x-1，當(dāng)△PEF是以P為直角頂點的直角三角形時，PE⊥PF，根據(jù)互相垂直的兩直線斜率之積為-1，得出直線PF的斜率為-1，設(shè)直線PF的解析式為y=-x+n，將P點坐標(biāo)代入，求出直線PF的解析式，再與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立，即可求出點F的坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式求出△PEF的面積．

解答：解：（1）由拋物線的形狀可知，如果△ABM為直角三角形，那么直角頂點只能是點M，且點M在x軸下方．
設(shè)M點的坐標(biāo)為（x，x²-2x-1），過M點作MN⊥AB于N，如圖．
∵y=x²-2x-1，
∴當(dāng)y=0時，x²-2x-1=0，
解得x=1±

2

，
∴A（1-

2

，0），B（1+

2

，0）．
在△AMN與△MBN中，

∠ANM=∠MNB=90° ∠AMN=∠MBN=90°-∠BMN

，
∴△AMN∽△MBN，
∴

AN

MN

=

MN

BN

，
∴MN²=AN•BN，
即（x²-2x-1）²=（x-1+

2

）（

2

+1-x），
整理，得x⁴-4x³+3x²+2x=0，
x（x-2）（x²-2x-1）=0，
如果x²-2x-1=0，那么點M與點A或點B重合，不合題意舍去，
∴x=0或2，
∴M點的坐標(biāo)為（0，-1）或（2，-1）；

（2）∵y=x²-2x-1，
∴當(dāng)x=0時，y=-1，
∴P點坐標(biāo)為（0，-1）．
設(shè)直線PE的解析式為y=kx+b，
∵P（0，-1），E（3，2），
∴

b=-1 3k+b=2

，
解得

k=1 b=-1

，
∴直線PE的解析式為y=x-1，．
∵△PEF是以P為直角頂點的直角三角形，PE⊥PF，
∴直線PF的斜率為-1．
設(shè)直線PF的解析式為y=-x+n，
將P（0，-1）代入，得n=-1，
∴直線PF的解析式為y=-x-1．
由

y=-x-1 y=x2-2x-1

，解得

x1=1 y1=-2

，

x2=0 y2=-1

（不合題意舍去），
∴點F的坐標(biāo)為（1，-2）．
在△PEF中，∵∠EPF=90°，PE=

(3-0)2+(2+1)2

=3

2

，PF=

(1-0)2+(-2+1)2

=

2

，
∴△PEF的面積=

1

2

PE•PF=

1

2

×3

2

×

2

=3．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元高次方程的解法，利用待定系數(shù)法求直線的解析式，兩函數(shù)交點坐標(biāo)的求法和三角形的面積求法，綜合性較強，難度適中．