Question

已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在半徑OB延長(zhǎng)線上，∠BCD=∠A=30°．
（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若⊙O的半徑為8，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)圓周角定理和等邊三角形的判定證得△OBC是等邊三角形，則∠OCB=60°，所以由圖中相關(guān)角與角間的和差關(guān)系易求∠OCD=90°，即直線CD與⊙O相切；
（2）在直角△OCD中，利用“30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”得到OD=2OC=16，則BD=OD-OB=16-8=8．

解答：解：（1）CD與⊙O相切，理由如下：
∵∠A=30°
∴∠BOC=2∠A=60°．
又∵OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°，即OC⊥CD．
又OC是半徑，
∴CD與⊙O相切；

（2）∵∠BOC=60°，∠OCD=90°，
∴∠D=30°，
∴OD=2OC=16，
∴BD=OD-OB=16-8=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．