Question

已知直線y=

3

4

x-3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=-

3

4

x²+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在直線CA上方的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得△ACD的面積最大？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），然后把A點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-

3

4

x²+mx+n中得到關(guān)于m、n的方程組，解方程組求出m、n即可得到拋物線的解析式；
（2）過(guò)D點(diǎn)作直線AC的平行線y=kx+b，要使△ACD的面積最大，則直線y=kx+b與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)D到AC的距離最大，根據(jù)兩直線平行問(wèn)題得到k=

3

4

，過(guò)點(diǎn)D的直線解析式為y=

3

4

x+b，然后把它與拋物線解析式組成方程組，利用方程組只有一組解和判別式的意義確定b的值，再得到方程組的解，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）把x=0代入y=

3

4

x-3得y=-3，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），
把y=0代入y=

3

4

x-3得

3

4

x-3=0，解得x=4，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
把A（4，0），C（0，-3）代入y=-

3

4

x²+mx+n得

- 3 4 ×42+4m+n=0 n=-3

，
解得

m= 15 4 n=-3

，
所以二次函數(shù)解析式為y=-

3

4

x²+

15

4

x-3；
（2）存在．
過(guò)D點(diǎn)作直線AC的平行線y=kx+b，當(dāng)直線y=kx+b與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D到AC的距離最大，此時(shí)△ACD的面積最大，
∵直線AC的解析式為y=

3

4

x-3，
∴k=

3

4

，即y=

3

4

x+b，
由直線y=

3

4

x+b和拋物線y=-

3

4

x²+

15

4

x-3組成方程組得

y= 3 4 x+b y=- 3 4 x2+ 15 4 x-3

，消去y得到3x²-12x+4b+12=0，
∴△=12²-4×3×（4b+12）=0，解得b=0，
∴3x²-12x+12=0，解得x₁=x₂=2，
把x=2，b=0代入y=

3

4

x+b得y=

3

2

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．