Question

直線y=-

3

3

x+

3

與兩坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，以點(diǎn)M（1，0）為圓心，MA為半徑作⊙M交坐標(biāo)軸于C、D兩點(diǎn)．作直線BE∥x軸交⊙M于E，過點(diǎn)B作直線PQ使∠EPM=∠MPB=60°，連接PE、PM．請(qǐng)你探究線段PB、PE、PM三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),特殊角的三角函數(shù)值

專題：探究型

分析：延長(zhǎng)PB至F，使得PF=PM，連接MF、MB、ME．只需證到BF=PE，只需證到△MBF≌△MEP，只需證到△PFM和△EMB都是等邊三角形即可．

解答：解：PB+PE=PM．
理由如下：
延長(zhǎng)PB至F，使得PF=PM，連接MF、MB、ME，如圖．
∵∠1=60°，PF=PM，
∴△PFM是等邊三角形，
∴MF=PM，∠PMF=60°，
∴∠3+∠5=60°．
由直線AB的解析式y(tǒng)=-

3

3

x+

3

可得：A（3，0），B（0，

3

），
在Rt△AOB中，
∵OB=

3

，OA=3，
∴tan∠BAO=

3

3

，
∴∠BAO=30°．
∵BE∥x軸，
∴∠8=∠BAO=30°，
∴∠7=2∠8=60°．
∵M(jìn)B=ME，
∴△MBE是等邊三角形，∠5+∠4=60°．
∵∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4．
在△MBF和△MEP中，

MF=MP ∠3=∠4 MB=ME

．
∴△MBF≌△MEP（SAS）．
∴BF=PE．
∴PM=PF=PB+BF=PB+PE，
即PB+PE=PM．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，有一定的難度，而用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵，截長(zhǎng)補(bǔ)短法是證明一條線段等于兩條線段的和（或差）常用的證明方法，應(yīng)掌握它．