【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線軸交于點,與軸交點,拋物線經(jīng)過,兩點,與軸交于另一點.如圖1,點為拋物線上任意一點,過點軸交

1)求拋物線的解析式;

2)當是直角三角形時,求點坐標;

3)如圖2,作點關于直線的對稱點,作直線與拋物線交于,設拋物線對稱軸與軸交點為,當直線經(jīng)過點時,請你直接寫出的長.

【答案】1;(2;(3) 2

【解析】

(1)先求出A、C點的坐標,然后用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式即可;

2)設,則,然后就PBC上方和下方分別解答即可;

3)由題意得B、C兩點的坐標分別為(4,0)和(0,2),求得MQ的坐標,得出直線QM的解析式,進而確定E、F兩點的橫坐標和縱坐標;然后過點E做垂直于x軸的直線交點為H,過點F做垂直于y軸的直線,交于點G ,證得EQH∽△EFGMQJ∽△EQH,然后運用相似三角形的性質(zhì)列出方程解答即可.

解:(1)在中,當,當,∴、

∵拋物線的圖象經(jīng)過,兩點

∴拋物線的解析式為

2)設,則

①當的上方時,

,

軸,可得

∴在中,

(舍去)

點坐標

②當的下方時,過

∴在中,

(舍去)

點坐標

∴當是直角三角形時,點坐標為

3)設BC直線為y=kx+b

解得導,

∴直線BC

拋物線的解析式可化為:

∴點Q坐標為(1,0

PMx

∴點M橫坐標即為點P橫坐標,為2

又∵點M在直線BC上,有=1

∴點M坐標為(2,1

設過點Q、M直線為y=k2x+b2

則有 ,解得

QM直線為y=x-1

解得

EF橫坐標別為Ex=,Fx=

又∵點EFQM直線上,

∴點E、F別坐標為Ey=,Fy=

過點E作垂直于x軸的直線交點為H,過點F作垂直于y 軸的直線,交于點G

EHx軸,FGy

EHFG,G點坐標為(ExFy

∴∠EHQ=EGF=90°

又∵∠EQH=EFG

EQH∽△EFG

過點M作垂直于x軸的直線交點為J

同理可得MQJ∽△EQH

EQH∽△EFGMQJ,

EF=×=2

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;

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