Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，半徑為2的圓與y軸交于點(diǎn)A，D點(diǎn)P（2

3

，2）是⊙O外一點(diǎn)，連接AP，點(diǎn)B從點(diǎn)D出發(fā)按逆時針方向以每秒一個單位的速度在⊙O上運(yùn)動，PB交x軸于點(diǎn)C．
（1）證明PA是⊙O的切線；
（2）當(dāng)點(diǎn)B在第四象限且PB與⊙O相切時，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下求直線AB的解析式．并直接寫出PB與⊙O相切時點(diǎn)B運(yùn)動的時間．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）證明AP∥x軸，得出∠OAP=90°，可得出結(jié)論；
（2）連接OP，OB，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，BF⊥x軸于點(diǎn)F，易證△OBC≌△PEC，得出OC=PC，設(shè)OC=PC=x，則CE=OE-OC=2

3

-x，在Rt△PCE中利用勾股定理可求出x的值，再由△OBC面積的兩種表示形式求出BF，在Rt△OFB中求出OF，繼而可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）求出∠BOF、BOD的度數(shù)，求出弧長BD的長度，可得點(diǎn)B運(yùn)動的時間．

解答：（1）證明：∵A（0，2），P（2

3

，2），
∴AP∥x軸，
∴∠OAP=90°，且點(diǎn)A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切線；

（2）解：連接OP，OB，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，BF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵PB切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠OBP=90°，即∠OBP=∠PEC，
又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PCE，
∴△OBC≌△PEC，
∴OC=PC，
設(shè)OC=PC=x，則CE=OE-OC=2

3

-x，
在Rt△PCE中，∵PC²=CE²+PE²，
∴x²=（2

3

-x）²+2²，
解得：x=

4

3

3

，
∴BC=CE=2

3

-

4

3

3

=

2

3

3

∵

1

2

OB•BC=

1

2

OC•BF，即

1

2

×2×

2

3

3

=

1

2

×

4

3

3

×BF，
∴BF=1，
∴OF=

OB2-BF2

=

22-12

=

3

，
由點(diǎn)B在第四象限可知B（

3

，-1）；

（3）解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
由A（0，2），B，（

3

，-1）；可得

3 k+b=-1 b=2

；
解得：

k=- 3 b=2

，
∴直線AB的解析式為y=-

3

x+2，
∵tan∠BOF=

BF

OF

=

3

3

，
∴∠BOF=30°，
∴∠BOD=60°，
∴l

BD

=

60π×2

180

=

2

3

π，
∴此時點(diǎn)B運(yùn)動了

2

3

π秒．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合，涉及了切線的判定、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、弧長的計算及三角形的面積，解答此類綜合性較強(qiáng)的題目，要求同學(xué)們熟練基本知識的掌握，并能將所學(xué)知識融會貫通．