Question

直線y=

5

2

x+5與x軸、y軸交于A、B兩點，過點C（-7，2）作CD⊥x軸于D，連CA．
（1）求證：AC=AB，且AC⊥AB；
（2）在y軸上取點E（0，3），連DE交AB于點P，求∠APD的度數(shù)．

Answer 1

考點：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

專題：

分析：（1）根據(jù)直線解析式求出OA、OB，根據(jù)點C的坐標求出CD、OD，再求出AD，然后利用“邊角邊”證明△AOB和△CDA全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AC=AB，全等三角形對應角相等可得∠CAD=∠ABO，再求出∠BAC=90°，然后根據(jù)垂直的定義證明即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線AC、DE的解析式，設AC、DE相交于點Q，然后聯(lián)立直線解析式求出點P、Q的坐標，再利用勾股定理列式求出AP²、AQ²，判斷出△APQ是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質解答．

解答：（1）證明：令y=0，則

5

2

x+5=0，解得x=-2，
令x+0，則y=5，
所以，OA=2，OB=5，
∵點C（-7，2），CD⊥x軸，
∴CD=2，OD=7，
∴AD=OD-OA=7-2=5，
∴OA=CD，OB=AD，
在△AOB和△CDA中，

OA=CD ∠ADC=∠AOB=90° OB=AD

，
∴△AOB≌△CDA（SAS），
∴AC=AB，∠CAD=∠ABO，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CDA+∠BAO=90°，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥AB；

（2）解：設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A（-2，0），C（-7，2），
∴

-2k+b=0 -7k+b=2

，
解得

k=- 2 5 b=- 4 5

，
∴直線AC的解析式為y=-

2

5

x-

4

5

，
設直線DE的解析式為y=mx+n，
∵點D（-7，0），E（0，3），
∴

-7m+n=0 n=3

，
解得

m= 3 7 n=3

，
∴直線DE的解析式為y=

3

7

x+3，
聯(lián)立

y= 5 2 x+5 y= 3 7 x+3

，
解得

x=- 28 29 y= 75 29

，
∴點P的坐標為（-

28

29

，

75

29

），
設AC、DE相交于點Q，
聯(lián)立

y=- 2 5 x- 4 5 y= 3 7 x+3

，
解得

x=- 133 29 y= 30 29

，
∴點Q（-

133

29

，

30

29

），
由勾股定理得，AP²=（-

28

29

+2）²+（

75

29

）²=（

30

29

）²+（

75

29

）²，
AQ²=（-2+

133

29

）²+（

30

29

）²=（

75

29

）²+（

30

29

）²，
∴AP²=AQ²，
又∵AC⊥AB，
∴△APQ是等腰直角三角形，
∴∠APD=45°．

點評：本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定與性質，勾股定理，兩直線相交的問題，難點在于（2）聯(lián)立兩直線解析式求出交點坐標并判斷出等腰直角三角形．