Question

如圖，拋物線y=x²-1的頂點為C，直線y=x+1與拋物線交于A，B兩點．M是拋物線上一點，過M作MG⊥x軸，垂足為G．如果以A，M，G為頂點的三角形與△ABC相似，那么點M的坐標是

 

．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：根據拋物線的解析式，易求得A（-1，0），D（1，0），C（0，-1）；則△ACD是等腰Rt△，由于AP∥DC，可知∠BAC=90°；根據D、C的坐標，用待定系數法可求出直線DC的解析式，而AB∥DC，則直線AB與DC的斜率相同，再加上A點的坐標，即可求出直線AB的解析式，聯(lián)立直線AB和拋物線的解析式，可求出B點的坐標，即可得出AB、AC的長．在Rt△ABC和Rt△AMG中，已知了∠BAC=∠AGM=90°，若兩三角形相似，則直角邊對應成比例，據此可求出M點的坐標．

解答：解：易知：A（-1，0），D（1，0），C（0，-1）；
則OA=OD=OC=1，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ACD=90°，AC=

2

；
又∵AB∥DC，
∴∠BAC=90°；
易知直線BD的解析式為y=x-1，
由于直線AB∥DC，可設直線AB的解析式為y=x+b，由于直線AB過點A（-1，0）；
則直線AB的解析式為：y=x+1，
聯(lián)立拋物線的解析式：

y=x+1 y=x2-1

，
解得

x=2 y=3

，

x=-1 y=0

；
故B（2，3）；
∴AP=

(2+1)2+32

=3

2

；
Rt△BAC和Rt△AMG中，∠AGM=∠PAC=90°，且BA：AC=3

2

：

2

=3：1；
若以A、M、G三點為頂點的三角形與△BCA相似，則AG：MG=1：3或3：1；
設M點坐標為（m，m²-1），（m＜-1或m＞1）
則有：MG=m²-1，AG=|m+1|；
①當AM：MG=1：3時，m²-1=3|m+1|，m²-1=±（3m+3）；
當m²-1=3m+3時，m²-3m-4=0，解得m=1（舍去），m=4；
當m²-1=-3m-3時，m²+3m+2=0，解得m=-1（舍去），m=-2；
∴M₁（4，15），M₂（-2，3）；
②當AM：MG=3：1時，3（m²-1）=|m+1|，3m²-3=±（m+1）；
當3m²-3=m+1時，3m²-m-4=0，解得m=-1（舍去），m=

4

3

；
當3m²-3=-m-1時，3m²+m-2=0，解得m=-1（舍去），m=

2

3

（舍去）；
∴M₃（

4

3

，

7

9

）．
故符合條件的M點坐標為：（4，15），（-2，3），（

4

3

，

7

9

）．
故答案為：：（4，15），（-2，3），（

4

3

，

7

9

）．

點評：此題主要考查了函數圖象交點、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質等，需注意的是在相似三角形的對應邊和對應角不確定的情況下需分類討論，以免漏解．