Question

1．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-6x+n-1=0有實數(shù)根．
（1）求n的取值范圍；
（2）若等腰三角形邊長分別為a，b，2，且a，b是方程的兩根，求n的值和三角形的周長．

Answer 1

分析 （1）方程有實數(shù)根，則△≥0，建立關(guān)于n的不等式，求出m的取值范圍．
（2）由三角形是等腰三角形，得到①a=2，或b=2，②a=b①當(dāng)a=2，或b=2時，得到方程的根x=2，把x=2代入x²-6x+n-1=0即可得到結(jié)果；②當(dāng)a=b時，方程x²-6x+n-1=0有兩個相等的實數(shù)根，由△=（-6）²-4（n-1）=0可的結(jié)果．

解答 解：（1）依題意得：△=（-6）²-4（n-1）≥0，
即10-n≥0，
解得n≤10；

（2）∵三角形是等腰三角形，
∴①a=2，或b=2，②a=b兩種情況，
①當(dāng)a=2，或b=2時，
∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x²-6x+n-1=0的兩根，
∴x=2，
把x=2代入x²-6x+n-1=0得，2²-6×2+n-1=0，
解得：n=9，
當(dāng)n=9，方程的兩根是2和4，而2，4，2不能組成三角形，
故n=9不合題意，
②當(dāng)a=b時，方程x²-6x+n-1=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=（-6）²-4（n-1）=0
解得：n=10，
綜上所述，n=10．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，一元二次方程的根，一元二次方程根的判別式，以及一元二次方程的應(yīng)用．解題時，注意分類討論思想的應(yīng)用．