Question

如圖，在?ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F．
（1）求證：四邊形AECF為菱形；
（2）若AC⊥CD，AB=6，BC=10，求四邊形AECF的面積．

Answer 1

考點：菱形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得∴AE=EC，AF=FC，所以∠1=∠2，∠3=∠4；再結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠1=∠4=∠3，即AF=AE，利用四條邊相等的四邊形是菱形即可證明．
（2）利用梯形的面積等于對角線的一半直接求解即可．

解答：解：（1）∵EF垂直平分AC，
∴AO=OC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠4=∠3，
∴AF=AE，
∴AE=EC=CF=FA，
∴四邊形AECF是菱形． 
（2）∵AC⊥CD，AC⊥EF
∴EF∥CD
∴EF=AB=6
∵BC=10，
∴由勾股定理得：AC=8，
∴四邊形AECF的面積為：

1

2

AC•EF=

1

2

×6×8=24；

點評：本題主要考查了菱形的判定和垂直平分線的性質(zhì)．菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對角線互相垂直平分．