Question

如圖，等腰梯形ABCD的底邊AB在x軸上，且點(diǎn)A與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B坐標(biāo)為（8

2

，0），點(diǎn)D坐標(biāo)為（3

2

，3

2

），點(diǎn)E為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，以每秒

2

個(gè)單位的速度由A向B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，將射線ED繞E點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°交BC于F點(diǎn)．

（1）求經(jīng)過(guò)A、C、D三點(diǎn)的拋物線；
（2）求出線段BF的最大值；
（3）若△ADE為等腰三角形，求t值；
（4）在直線BC上取一點(diǎn)P，求DE+EP的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過(guò)D作DD′⊥AB于D′，過(guò)C作CC′⊥AB于C′，可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（5

2

，0），運(yùn)用待定系數(shù)法求得過(guò)A、C、D三點(diǎn)的拋物線；
（2）根據(jù)相似三角形的判定可得△ADE∽△BEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

AD

BE

=

AE

BF

，設(shè)BF=y，可得y=-

1

3

(t-4)2+

16

3

，從而得到線段BF的最大值；
（3）分三種情況：①當(dāng)ED=EA時(shí)（如點(diǎn)E1）；②當(dāng)AD=AE時(shí)（如點(diǎn)E₂）；③當(dāng)DA=DE時(shí)（如點(diǎn)E₃）；討論可得△ADE是等腰三角形時(shí)t的值；
（4）作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，過(guò)D′作D′P⊥CB于P，連接D′P交OB于點(diǎn)E，由軸對(duì)稱知DE+EP=D′E+EP=D′P，由垂線段最短知此時(shí)D′P最短，則DE+EP也最�。�

解答：解：（1）如圖1，過(guò)D作DD′⊥AB于D′，過(guò)C作CC′⊥AB于C′，
可求得BC′=OD′=3

2

，CC′=DD′=3

2

，D′C′=DC=2

2

，
則C點(diǎn)坐標(biāo)為（5

2

，0），
運(yùn)用待定系數(shù)法求得過(guò)A、C、D三點(diǎn)的拋物線為y=-

2

10

x2+

8

5

x

（2）如圖2，計(jì)算知∠CBA=∠DAB=∠DEF=45°，∠1+∠2=135°，∠2+∠3=135°，
所以∠1=∠3，△ADE∽△BEF，
則

AD

BE

=

AE

BF

，
設(shè)BF=y，即有

6

8 2 - 2 t

=

2 t

y

，
化簡(jiǎn)得：y=-

1

3

t2+

8

3

t，
配方得y=-

1

3

(t-4)2+

16

3

，
當(dāng)t=4時(shí)，y有最大值且為

16

3

，即BF最大為

16

3

（3）如圖3由上圖計(jì)算知AD=

2

AD′=6，∠BAD=45°；
①當(dāng)ED=EA時(shí)（如點(diǎn)E1），則∠E₁AD=∠E₁DA=45°，DE₁⊥AB，則E₁與上圖中的D′重合，故OE₁=3

2

，t=3

2

÷

2

=3；
②當(dāng)AD=AE時(shí)（如點(diǎn)E₂），則AE₂=AD=6，t=6÷

2

=3

2

；
③當(dāng)DA=DE時(shí)（如點(diǎn)E₃），由“三線合一”得AE₃=2AE₁=6

2

÷

2

=6
綜上所述，當(dāng)t=3，3

2

，6時(shí)，△ADE是等腰三角形．

（4）如圖4，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，過(guò)D′作D′P⊥CB于P，連接D′P交OB于點(diǎn)E，
由軸對(duì)稱知DE+EP=D′E+EP=D′P，
由垂線段最短知此時(shí)D′P最短，則DE+EP也最小．
由∠CBO=45°，可推導(dǎo)D′E=

2

D′F=

2

DF=

2

•3

2

=6，BE=BF-FG=2

2

，EP=

BE

2

=2，
所以D′P=8，即DE+EP最小值為8．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求拋物線的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，最值問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，分類思想，由軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂線段最短，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．