【題目】如圖,O是ABC的外接圓的圓心,ABC=60°,BF,CE分別是AC,AB邊上的高且交于點(diǎn)H,CE交O于M,D,G分別在邊BC,AB上,且BD=BH,BG=BO,下列結(jié)論:①ABO=HBC;②ABBC=2BFBH;③BM=BD;④GBD為等邊三角形,其中正確結(jié)論的序號(hào)是( )

A.①② B.①③④ C.①②④ D.①②③④

【答案】D

【解析】

試題分析:①,延長(zhǎng)AO交圓于點(diǎn)N,連接BN,可證明ABO=HBC.因此①正確;

②原式可寫成=,無(wú)法直接用相似來(lái)求出,那么可通過(guò)相等的比例關(guān)系式來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)換,不難發(fā)現(xiàn)三角形BEC中,ABC=60°,那么BC和BE存在倍數(shù)關(guān)系,即BC=2BE,因此如果證得=,可發(fā)現(xiàn)這個(gè)比例關(guān)系式正好是相似三角形BEH和BAF的兩組對(duì)應(yīng)線段,因此本題的結(jié)論也是正確的.

③要證MB=BD,先看與BD相等的線段有哪些,不難通過(guò)相似三角形ABN和BFC(一組直角,OBA=OAB=FBC)得出,將這個(gè)結(jié)論和②的結(jié)論進(jìn)行置換即可得出:BD=BO=BH=BG,因此可證MB和圓的半徑相等即可得出BM=BD的結(jié)論.如果連接NC,在三角形ANC中ANC=ABC=60°,因此AN=2NC,NC就是半徑的長(zhǎng).通過(guò)相似三角形BME和CAE可得出,而在直角三角形BEC中,BE:EC=tan30°,而在直角三角形ANC中,NC:AC=tan30°,因此,即可得出BM=NC=BO=BD.因此該結(jié)論也成立.

④在③中已經(jīng)得出了BD=BG=BO=BH,而ABC=60°,因此三角形BGD是等邊三角形.本結(jié)論也成立.

因此四個(gè)結(jié)論都成立,

解:①延長(zhǎng)AO交圓于點(diǎn)N,連接BN,則ABN=90°,又ACB=BNA,ABO=BAO,所以ABO=HBC.因此①正確;

②原式可寫成=,ABC=60°,那么BC=2BE,因此=,所以本題的結(jié)論也是正確的.

∵△ABN∽△BFC(一組直角,OBA=OAB=FBC,BD=BO=BH=BG,BM=BD.

連接NC,在三角形ANC中ANC=ABC=60°,AN=2NC,BE:EC=tan30°,

在直角三角形ANC中,NC:AC=tan30°,,BM=NC=BO=BD

因此該結(jié)論也成立.

④在③中已經(jīng)得出了BD=BG=BO=BH,而ABC=60°,因此三角形BGD是等邊三角形.本結(jié)論也成立.

因此四個(gè)結(jié)論都成立,

故選D.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. B. C. D.

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A. 1 B. 3 C. D.

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