Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，點C為半圓ACB上的動點（不與A、B兩點重合），過點C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分線交圓于點P，則點P的位置有何規(guī)律？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：常規(guī)題型

分析：連接OP，如圖，根據(jù)角平分線的定義得∠PCD=∠PCO，而∠PCO=∠OPC，則∠PCD=∠OPC，根據(jù)平行線的判定得OP∥CD，由于CD⊥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OP⊥AB，然后根據(jù)垂徑定理即可得到弧PA=弧PB．

解答：解：點P為半圓AB的中點．理由如下：
連接OP，如圖，
∵∠OCD的平分線交圓于點P，
∴∠PCD=∠PCO，
∵OC=OP，
∴∠PCO=∠OPC，
∴∠PCD=∠OPC，
∴OP∥CD，
∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴弧PA=弧PB，
即點P為半圓的中點．

點評：本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理和平行線的判定與性質(zhì)．