Question

11．如圖，正三角形ABC的邊長為6$\sqrt{3}$，當(dāng)圓心O從點A出發(fā)，沿著線路AB-BC-CA運(yùn)動，最后回到點A，⊙O與△ABC任意一邊都不會相切時，稱為“零相切”；在運(yùn)動過程中，當(dāng)⊙O只與△ABC一邊相切時，稱為“單次相切”；在運(yùn)動過程中，當(dāng)⊙O與△ABC兩邊都相切時，成為繼“雙次相切”．
（1）當(dāng)⊙O的半徑為$\sqrt{3}$．⊙O與△ABC首次“單次相切”時，OA的長為2；⊙O與△ABC第二次“單次相切”時，OA的長為6$\sqrt{3}$-2；在整個運(yùn)動過程中，⊙O與△ABC“單次相切”的次數(shù)為4；⊙O在運(yùn)動過程中有可能與△ABC“雙次相切”嗎？不可能．（填“可能”或“不可能”）
（2）若⊙O的半徑為9，在整個運(yùn)動過程中，⊙O與△ABC“單次相切”的次數(shù)為3．此時⊙O在運(yùn)功過程中有可能與△ABC“雙次相切”嗎？不可能（填“可能”或“不可能”）
（3）依照（1）、（2）研究方法，請你直接寫出，在運(yùn)動過程中，半徑r的范圍及相應(yīng)的相切情況的次數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)可知，圓心到切線的距離等于半徑，⊙O與△ABC首次“單次相切”時，與邊AC相切，過點O向三角形的三邊作垂線利用銳角三角函數(shù)可得AO；第二次相切時與邊BC相切，同理可得O″B，可得OA；同理可得第二次與BC相切，與AB相切，可得4次；根據(jù)雙相切定義可知⊙O到兩邊距離相等，即為三邊的中點，可得OP，OP＞r，可知無雙相切；
（2）與（1）同理可得半徑為9時，AO=6$\sqrt{3}$，可知當(dāng)圓心在A，B，C上時⊙O與△ABC“單次相切”，所以可得共3次單相切；因為⊙O的半徑不等于$\frac{9}{2}$，所以無雙相切；
（3）由（1）（2）分析可得結(jié)論．

解答 解（1）如圖1，過O′點作O′P′⊥AC，
在Rt△AO′P′中，∠A=60°，O′P′=$\sqrt{3}$，
∴AO=$\frac{O′P′}{sin∠A}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$=2，
∴⊙O與△ABC首次“單次相切”時，OA的長為2；
同理可得，O″B=$\frac{O″P″}{sin∠B}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$=2，
∴OA=6$\sqrt{3}$-2，
∴⊙O與△ABC第二次“單次相切”時，OA的長為6$\sqrt{3}$-2；
同理可得，⊙O與△ABC“單次相切”的次數(shù)為4，
若雙次相切則⊙O到兩邊距離相等，即為三邊的中點，
此時，OP=$3\sqrt{3}•sin60°$=$\frac{9}{2}$，
∵$\sqrt{3}＜\frac{9}{2}$，
∴不可能雙次相切；
故答案為：2，6$\sqrt{3}-2$，4，不可能；

（2）如圖2，AO′=$\frac{OP}{sin∠A}$=$\frac{9}{sin60°}$=6$\sqrt{3}$，
∴當(dāng)圓心在A，B，C上時⊙O與△ABC“單次相切”，
∴⊙O與△ABC“單次相切”的次數(shù)為3，
由（1）得，
∵⊙O的半徑不等于$\frac{9}{2}$，
∴不可能雙次相切，
故答案為：3，不可能；

（3）依照（1）、（2）研究方法可得，當(dāng)0＜r＜$\frac{9}{2}$時，．⊙O與△ABC有且僅有單相切4次；
當(dāng)r=$\frac{9}{2}$時，有且僅有雙相切3次；
當(dāng)$\frac{9}{2}$＜r≤9時，有且僅有單相切3次；
當(dāng)r＞9時，無相切．

點評 本題主要考查了切線的性質(zhì)和三角函數(shù)，理解單相切與雙相切的定義，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．