Question

8．如圖（1），頂點(diǎn)為（1，-4）的拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊），⊙M過A、B、C三點(diǎn)，交y軸于另一點(diǎn)D；
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖（2）：連接AM、DM，將∠AMD繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩邊MA、MD與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，連結(jié)EF，設(shè)AE=t，當(dāng)點(diǎn)F落在線段OC上時(shí)，直接寫出：①t的取值范圍；②△EMF的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點(diǎn)式設(shè)拋物線為y=a（x-1）²-4，把點(diǎn)C（0，-3）代入即可．
（2）設(shè)M（1，m），作MH⊥OC存在為H，對稱軸與OA交于點(diǎn)G，因?yàn)镸H=1、BG=2根據(jù)BM=CM得BG²+MG²=CH²+HM²由此列出方程求解．
（3）先證明∠DMA=90°，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí)求出AE=1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)求出AE=4即可知道t的范圍，再證明△EFM是等腰直角三角形，求出EM利用三角形面積公式即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線為y=a（x-1）²-4，把點(diǎn)C（0，-3）代入得到a=1，
所以拋物線y=x²-2x-3，
（2）如圖1，由題意A（3，0），B（-1，0），C（0，-3），

∵拋物線對稱軸x=1，∴圓心M在直線x=1上，
∴設(shè)M（1，m），作MH⊥OC存在為H，對稱軸與OA交于點(diǎn)G，
∴MH=1．，BG=2，
∵BM=CM，
∴BG²+MG²=CH²+HM²，
∴4+m²=（m+3）²+1，
∴m=-1，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，-1）．

（3）如圖2中，作MH⊥OC，MG⊥OA，垂足分別為H，G，
在△MDH和△MAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DH=AG}\\{∠MHD=∠MGA}\\{MH=MG}\end{array}\right.$，
∴△MDH≌△MAG，
∴∠HMD=∠GMA，
∴∠HMG=∠AMD=90°，
當(dāng)點(diǎn)F與O重合時(shí)，易知∠MOE=∠MEO=45°，OG=GE=1，AE=1，
此時(shí)t=1．

如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，
∵∠EMF=∠HMG=90°，
∴∠HMF=∠EMG，
在△MHF和△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HMF=∠EMG}\\{HM=MG}\\{∠MHF=∠MGE=90°}\end{array}\right.$，
∴△MHF≌△MGE，
∴EG=HF=2，此時(shí)t=4，
∴當(dāng)點(diǎn)F落在線段OC上時(shí)，1≤t≤4．

（4）1≤t≤4時(shí)，如圖4中，
∵∠HMG=∠EMF=90°，
∴∠EMG=∠FMH，
在△MHF和△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MHF=∠MGE=90°}\\{MH=MG}\\{∠FMH=∠EMG}\end{array}\right.$，
∴△MHF≌△MGE，
，∴MF=ME=$\sqrt{M{G}^{2}+G{E}^{2}}$=$\sqrt{1+（2-{t）}^{2}}$，
∴s=$\frac{1}{2}$ME²=$\frac{1}{2}$（t²-4t+5）=$\frac{1}{2}$t²-2t+$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、等腰三角形性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)等知識，注意轉(zhuǎn)化的思想以及分類討論的方法．