Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，且OA=3，OB=4，反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)正方形的頂點(diǎn)D．
（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）求將正方形ABCD沿x軸向左平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上；
（3）若點(diǎn)E是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在直線EF將Rt△ABO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在這樣的直線EF，則求出線段EF的長(zhǎng)；若不存在這樣的直線EF，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）作DH⊥x軸于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=90°，再利用等角的余角相等得到∠OBA=∠DAH，則可根據(jù)“AAS”證明△ABO≌△DAH，所以AH=OB=4，DH=OA=3，得到D點(diǎn)坐標(biāo)為（7，3），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征計(jì)算出k=21，即可得到反比例函數(shù)解析式為y=

21

x

；
（2）作CG⊥y軸于G，CG交反比例函數(shù)圖象于P點(diǎn)，用同樣的方法可證明△ABO≌△BCG，得到BG=OA=3，CG=OB=4，則C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)解析式確定P點(diǎn)坐標(biāo)，則PC=CG-PG，于是將正方形ABCD沿x軸向左平移PC個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上；
（3）設(shè)E（m，0），F(xiàn)（0，n），即OE=m，OF=n，在Rt△OAB中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=5，則△ABO的周長(zhǎng)=12，△ABO的面積=6，由于直線EF將Rt△ABO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，所以m+n=6，即mn=6，再求出m和n的值，然后根據(jù)m、n的取值范圍進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）作DH⊥x軸于H，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAH=90°，
而∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠DAH，
在△ABO和△DAH中，

∠AOB=∠DHA ∠OBA=∠HAD AB=DA

，
∴△ABO≌△DAH（AAS），
∴AH=OB=4，DH=OA=3，
∴OH=OA+AH=3+4=7，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（7，3），
∴k=7×3=21，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

21

x

；
（2）作CG⊥y軸于G，CG交反比例函數(shù)圖象于P點(diǎn)，如圖，
與（1）的方法一樣可證明△ABO≌△BCG，
∴BG=OA=3，CG=OB=4，
∴OG=7，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，7），
把y=7代入y=

21

x

得x=3，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，7），
∴PC=CG-PG=4-3=1，
∴將正方形ABCD沿x軸向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上；
（3）不存在．
設(shè)E（m，0），F(xiàn)（0，n），即OE=m，OF=n，
在Rt△OAB中，OA=3，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=5，
∴△ABC的周長(zhǎng)=3+4+5=12，△ABC的面積=

1

2

×3×4=6，
∵直線EF將Rt△ABO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，
∴m+n=6，mn=6，
∴m（6-m）²=6，
整理得m²-6m+6=0，解得m₁=3+

3

，m₂=3-

3

，
當(dāng)m=3+

3

時(shí)，n=3-

3

；當(dāng)m=3-

3

時(shí)，n=3+

3

，
而0≤m≤3，0≤n≤4，
∴不存在直線EF將Rt△ABO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)解決線段相等的問(wèn)題；會(huì)利用完全平方公式進(jìn)行代數(shù)式變形．