Question

已知點(diǎn)P為⊙O所在平面上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的兩條直線PA，PC分別交⊙O于A，B和C，D兩點(diǎn)，且PO平分∠APC．求證：PA=PC．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連結(jié)OA、OB，如圖，根據(jù)角平分線定理得到OE=OF，再證明Rt△AOE≌Rt△COF得到AE=CF，然后證明Rt△POE≌Rt△POF，
得到PE=PF，則PE-AE=PF-CF，所以PA=PC．

解答：證明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連結(jié)OA、OB，如圖，
∵PO平分∠APC，
∴OE=OF，
在Rt△AOE和Rt△COF中，

OE=OF OA=OC

，
∴Rt△AOE≌Rt△COF，
∴AE=CF，
在Rt△POE和Rt△POF中，

OE=OF PO=PO

，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴PE=PF，
∴PE-AE=PF-CF，
即PA=PC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了角平分線定理和直角三角形全等的判定方法．