Question

16．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E，F(xiàn)是對角線ACS行的兩個動點，分別從A，C同時出發(fā)相向而行，速度均為1cm/s，運動時間為t秒，當(dāng)其中一個動點到達(dá)后就停止運動．
（1）若G，H分別是AB，DC中點，求證：四邊形EGFH始終是平行四邊形．
（2）在（1）條件下，當(dāng)t為何值時，四邊形EGFH為矩形．
（3）若G，H分別是折線A-B-C，C-D-A上的動點，與E，F(xiàn)相同的速度同時出發(fā)，當(dāng)t為何值時，四邊形EGFH為菱形．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，由勾股定理求出AC=5，由SAS證明△AFG≌△CEH，得出GF=HE，同理得出GE=HF，即可得出結(jié)論；
（2）先證明四邊形BCHG是平行四邊形，得出GH=BC=4，當(dāng)對角線EF=GH=4時，平行四邊形EGFH是矩形，分兩種情況：①AE=CF=t，得出EF=5-2t=4，解方程即可；②AE=CF=t，得出EF=5-2（5-t）=4，解方程即可；
（3）連接AG、CH，由菱形的性質(zhì)得出GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，得出OA=OC，AG=AH，證出四邊形AGCH是菱形，得出AG=CG，設(shè)AG=CG=x，則BG=4-x，由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出AB+BG=$\frac{31}{8}$，即可得出t的值．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，∠GAF=∠HCE，
∵G，H分別是AB，DC中點，
∴AG=BG，CH=DH，
∴AG=CH，
∵AE=CF，
∴AF=CE，
在△AFG和△CEH中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=CH}&{\;}\\{∠GAF=∠HCE}&{\;}\\{AF=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF=HE，
同理：GE=HF，
∴四邊形EGFH是平行四邊形．
（2）解：由（1）得：BG=CH，BG∥CH，
∴四邊形BCHG是平行四邊形，
∴GH=BC=4，當(dāng)EF=GH=4時，平行四邊形EGFH是矩形，分兩種情況：
①AE=CF=t，EF=5-2t=4，
解得：t=0.5；
②AE=CF=t，EF=5-2（5-t）=4，
解得：t=4.5；
綜上所述：當(dāng)t為0.5s或4.5s時，四邊形EGFH為矩形．
（3）解：連接AG、CH，如圖所示：
∵四邊形EGFH為菱形，
∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，
∴OA=OC，AG=AH，
∴四邊形AGCH是菱形，
∴AG=CG，
設(shè)AG=CG=x，則BG=4-x，
由勾股定理得：AB²+BG²=AG²，
即3²+（4-x）²=x²，
解得：x=$\frac{25}{8}$，
∴BG=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
∴AB+BG=3+$\frac{7}{8}$=$\frac{31}{8}$，
即t為$\frac{31}{8}$s時，四邊形EGFH為菱形．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強，難度較大，特別是（3）中，需要通過作輔助線證明四邊形是菱形，運用勾股定理得出方程才能得出結(jié)果．