Question

已知拋物線y=

1

2

x²，把它向下平移，得到的拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．
（1）若△ABC是直角三角形，那么原拋物線應(yīng)向下平移幾個單位？說明理由；
（2）若△ABC是等邊三角形，那么原拋物線應(yīng)向下平移幾個單位？說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得OB=OC=OA，根據(jù)OB=OC=OA，可得一元二次方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（2）根據(jù)勾股定理，可得BC的長，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：（1）若△ABC是直角三角形，那么原拋物線應(yīng)向下平移2個單位，理由如下：
設(shè)向下平移b個單位，若△ABC是直角三角形，
y=

1

2

x²-b，
可得A（-

2b

，0）B（

2b

，0）C（0，-b），
△ABC是直角三角形，
OB=OC=OA，

2b

=b，解得b=2，
若△ABC是直角三角形，那么原拋物線應(yīng)向下平移2個單位；
（2）若△ABC是等邊三角形，那么原拋物線應(yīng)向下平移6個單位，理由如下
設(shè)向下平移b個單位，若△ABC是直角三角形，
y=

1

2

x²-b，
可得A（-

2b

，0）B（

2b

，0）C（0，-b），
AB=2

2b

，BC=

2b+b2

，
若△ABC是等邊三角形，
AB=BC，即2

2b

=

2b+b2

，
解得b=6．
若△ABC是等邊三角形，那么原拋物線應(yīng)向下平移6個單位．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，函數(shù)圖象平移的規(guī)律．