Question

已知：點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離OE、OF相等，且OB=OC．
（1）如圖，若點O在邊BC上，求證：AB=AC；

（2）如圖，若點O在△ABC的內部，則（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，說明理由；

（3）若點O在△ABC的外部，則（1）的結論還成立嗎？請畫圖表示．

Answer 1

（1）證明：∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
∵在Rt△OBE和Rt△OCF中

OB=OC OE=OF

，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．

（2）成立．
證明：過O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為E、F，
則∠BEO=∠CFO=90°，
∵在Rt△OBE和Rt△OCF中

OB=OC OE=OF

，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．
∴∠EBO=∠FCO．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∴∠EBO+∠OBC=∠FCO+∠OCB．
即∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC．

（3）不一定成立，如右圖．