【題目】如圖1,矩形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),以點(diǎn)E直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF,EG分別過點(diǎn)B,C.
(1)求證:BE=CE;
(2)將△EFG繞點(diǎn)E按順時針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時停止轉(zhuǎn)動.若EF,EG分別與AB,BC相交于點(diǎn)M,N,若AB=2.(如圖2)
①求證:四邊形EMBN的面積為定值;
②設(shè)BM=x,△EMN面積為S,求S最小值.
【答案】(1)見解析;(2)①見解析;②2.
【解析】
(1)由矩形的性質(zhì)得出AB=DC,∠A=∠D=90°,由E是AD中點(diǎn)得出AE=DE,由SAS證得△BAE≌△CDE,即可得出結(jié)論;
(2)①由(1)可知△EBC是等腰直角三角形,易證△ABE是等腰直角三角形,得出∠EBC=∠ECN=∠EBM=45°,證明∠MEB=∠NEC,由ASA證得△BEM≌△CEN,得出S四邊形EMBN=S△EBC,求出BE=CE=,則S四邊形EMBN=S△EBC=BECE=4,即可得出結(jié)論;
②由①知△BEM≌△CEN,BE=CE=,則BM=CN=x,BC=BE=4,BN=4﹣x,S=S四邊形EMBN﹣S△BMN=4﹣BMBN=(x﹣2)2+2,由>0,則當(dāng)x=2時,S有最小值為2.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠A=∠D=90°,
∵E是AD中點(diǎn),
∴AE=DE,在△BAE和△CDE中,
,
∴△BAE≌△CDE(SAS),
∴BE=CE;
(2)①證明:由(1)可知,△EBC是等腰直角三角形,
∴∠EBC=45°,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ABC=90°,
∴∠ABE=90°﹣45°=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴∠EBC=∠ECN=∠EBM=45°,
∵∠MEB+∠BEN=90°,∠NEC+∠BEN=90°,
∴∠MEB=∠NEC,
在△BEM和△CEN中,
,
∴△BEM≌△CEN(ASA),
∴S四邊形EMBN=S△EBC,
∵AB=2,
∴BE=CE=,
∴S四邊形EMBN=S△EBC=BECE=×2×2=4,
∴四邊形EMBN的面積為定值;
②解:由①知,△BEM≌△CEN,BE=CE=,
∴BM=CN=x,BC=BE=×2=4,
∴BN=4﹣x,
∴S=S四邊形EMBN﹣S△BMN=4﹣BMBN=4﹣x(4﹣x)=x2﹣2x+4=(x﹣2)2+2,
∵>0,
∴當(dāng)x=2時,S有最小值為2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】端午節(jié)前夕舉行了南通濠河國際龍舟邀請賽,在500米直道競速賽道上,甲、乙兩隊(duì)所劃行的路程y(單位:米)與時間t(單位:分)之間的函數(shù)關(guān)系式如圖所示,根據(jù)圖中提供的信息,有下列說法:①甲隊(duì)比乙隊(duì)提前0.5分到達(dá)終點(diǎn)②當(dāng)劃行1分鐘時,甲隊(duì)比乙隊(duì)落后50米③當(dāng)劃行分鐘時,甲隊(duì)追上乙隊(duì)④當(dāng)甲隊(duì)追上乙隊(duì)時,兩隊(duì)劃行的路程都是300米其中錯誤的是( 。
A. ①B. ②C. ③D. ④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為A(﹣2,3),B(﹣3,1),C(0,1)請解答下列問題:
(1)△ABC與△A1B1C1關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱,畫出△A1B1C1并直接寫出點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo);
(2)畫出△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C,并求出線段AC旋轉(zhuǎn)時掃過的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被3等分,指針落在每個扇形內(nèi)的機(jī)會均等.小明和小華利用這個轉(zhuǎn)盤做游戲,若采用下列游戲規(guī)則:小明和小華各轉(zhuǎn)一次,指針各指向一個數(shù)字,如果兩數(shù)字之和是奇數(shù)是小明勝,否則小華勝。
(1)請用列表或畫樹狀圖的方法列出所有可能的情況;
(2)你認(rèn)為這個游戲?qū)﹄p方公平嗎?說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一段拋物線y=﹣x2+4(﹣2≤x≤2)為C1,與x軸交于A0,A1兩點(diǎn),頂點(diǎn)為D1;將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2,頂點(diǎn)為D2;C1與C2組成一個新的圖象,垂直于y軸的直線l與新圖象交于點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),與線段D1D2交于點(diǎn)P3(x3,y3),設(shè)x1,x2,x3均為正數(shù),t=x1+x2+x3,則t的取值范圍是_____.
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【題目】如圖,菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為2和3,點(diǎn)D在CE上,且∠A=120°,B,C,G三點(diǎn)在同一直線上,則BD與CF的位置關(guān)系是_____;△BDF的面積是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-1的頂點(diǎn)為A,直線l過點(diǎn)P(0,m)且平行于x軸,與拋物線交于點(diǎn)B和點(diǎn)C.若AB=AC,∠BAC=90°,則m=______.
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【題目】我們定義:有一組對角為直角的四邊形叫做“對直角四邊形”.如圖1,四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°,則四邊形ABCD是“對直角四邊形”.
(1)“對角線相等的對直角四邊形是矩形”是______命題;(填“真”或“假”)
(2)如圖2,在對直角四邊形ABCD中,∠DAB<90°,AD+CD=AB+BC.試說明△ADC的面積與△ABC的面積相等;
(3)如圖3,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,過AB的中點(diǎn)D作射線DP∥AC,交BC于點(diǎn)O,∠BDP與∠ADP的角平分線分別交BC,AC于點(diǎn)E、F.
①圖中是“對直角四邊形”的是______;
②當(dāng)OP的長是______時,四邊形DEPF為對直角四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將邊長為8的正方形紙片ABCD沿著EF折疊,使點(diǎn)C落在AB邊的中點(diǎn)M處.點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處,MD'與AD交于點(diǎn)G,則△AMG的內(nèi)切圓半徑的長為______.
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