Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)C（3，0），直線a為過(guò)點(diǎn)D（0，-1）且平行于x軸的直線．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B關(guān)于直線a對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)E的坐標(biāo)（0，-4）；
（2）若P為直線a上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出△PBA周長(zhǎng)的最小值和此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若M為直線a上一動(dòng)點(diǎn)，且S_△ABC=S_△MAB，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于已知直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的特點(diǎn)即可得到結(jié)論；
（2）由B、E關(guān)于直線a對(duì)稱(chēng)，得到PB=PE，于是得到△PBA周長(zhǎng)=AB+BP+PA=AB+PE+PA，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最段，于是得到△PBA周長(zhǎng)的最小值=AB+AE=$\sqrt{5}+\sqrt{17}$，求得直線AE的解析式：y=-4x-4，即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)M（m，-1），由S_△ABC=S_△MAB，得到點(diǎn)M在過(guò)C且平行于AB的直線上，通過(guò)直線AB的解析式為：y=2x+2，設(shè)直線CM的解析式為：y=2x+n，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵B（0，2），D（0，-1），
∴BD=3，
∵直線a為過(guò)點(diǎn)D（0，-1）且平行于x軸的直線．
∴BD⊥直線a，
∴點(diǎn)B關(guān)于直線a對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)E的坐標(biāo)（0，-4）；
故答案為：（0，-4）；

（2）∵B、E關(guān)于直線a對(duì)稱(chēng)，
∴PB=PE，
∴△PBA周長(zhǎng)=AB+BP+PA
=AB+PE+PA
∵兩點(diǎn)之間線段最段，
∴△PBA周長(zhǎng)的最小值=AB+AE=$\sqrt{5}+\sqrt{17}$，
∴直線AE的解析式：y=-4x-4，
當(dāng)y=-1時(shí)，x=$-\frac{3}{4}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)（$-\frac{3}{4}$，-1）；

（3）設(shè)M（m，-1），
當(dāng)M在第四象限，
∵S_△ABC=S_△MAB，
∴點(diǎn)M在過(guò)C且平行于AB的直線上，
∵直線AB的解析式為：y=2x+2，
設(shè)直線CM的解析式為：y=2x+n，
∴0=2×3+n，
∴n=-6，
∴直線CM的解析式為：y=2x-6，
∴m=$\frac{5}{2}$，
∴M（$\frac{5}{2}$，-1），
當(dāng)M在第三象限，
直線AB與直線a交于G（-$\frac{3}{2}$，-1），
∴$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{2}$-m）×（2+1）-$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{2}$-m）×1=$\frac{1}{2}$×4×2，
∴m=-5.5，
∴M（-5.5，-1）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)--最短路線問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．