Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AC=6cm，BC=8cm．
（1）求AB邊上中線CM的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)P是線段CM上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)C、點(diǎn)M不重合），求出△APB的面積y（平方厘米）與CP的長(zhǎng)x（厘米）之間的函數(shù)關(guān)系式并求出函數(shù)的定義域；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△ABP的面積是凹四邊形ACBP面積的

3

2

？如果存在，請(qǐng)求出CP的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,三角形的面積,直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）在直角三角形中，已知兩直角邊，根據(jù)勾股定理即可求斜邊的長(zhǎng)，根據(jù)斜邊的中線長(zhǎng)是斜邊長(zhǎng)的一半的性質(zhì)即可以解題；
（2）根據(jù)S_△AMP=S_△ACM-S_△APC即可求出

1

2

y，從而可得出答案；
（3）△ABP的面積是凹四邊形ACBP面積的

3

2

，可知△ABP的面積是△ACB面積的

3

5

，據(jù)此列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=

62+82

=5（cm），
在直角三角形中，根據(jù)斜邊的中線長(zhǎng)是斜邊長(zhǎng)的一半的性質(zhì)，
∴CM=

1

2

AB=5（cm）；

（2）∵CP=x，CM=AM，
∴∠CAB=∠ACM，
∵sin∠CAB=

BC

AB

=

4

5

，
∴sin∠ACM=

4

5

，
∴S_△AMC=

1

2

×6×5×sin∠ACM=12（cm²），
S_△ACP=

1

2

×6×x×

4

5

=

12

5

x（cm²），
∵△APB的面積y，
∴

1

2

y=S_△AMC-S_△ACP=12-

12

5

x，
∴y=24-

24

5

x（0＜x＜5）；

（3）△ABP的面積是凹四邊形ACBP面積的

3

2

時(shí)，
24-

24

5

x=

1

2

×6×8，
解得x=2.5．
故CP的長(zhǎng)是2.5cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)及勾股定理，難度較大，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，斜邊的中線長(zhǎng)是斜邊長(zhǎng)的一半．