Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（b，0），C（-1，2）（見圖1），且|2a+b+1|+

a+2b-4

=0
（1）求a、b的值；
（2）①在x軸的正半軸上存在一點M，使△COM的面積=

1

2

△ABC的面積，求出點M的坐標(biāo)；
②在坐標(biāo)軸的其它位置是否存在點M，使△COM的面積=

1

2

△ABC的面積仍然成立？若存在，請直接寫出符合條件的點M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，過點C作CD⊥y軸交y軸于點D，點P為線段CD延長線上的一動點，連接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．當(dāng)點P運動時，

∠OPD

∠DOE

的值是否會改變？若不變，求其值；若改變，說明理由．

Answer 1

考點：坐標(biāo)與圖形性質(zhì),解二元一次方程組,三角形的面積,三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，然后解方程組即可；
（2）①過點C做CT⊥x軸，CS⊥y軸，垂足分別為T、S，根據(jù)三角形的面積公式求得OM的長，則M的坐標(biāo)即可求得；
②根據(jù)三角形的面積公式，即可寫出M的坐標(biāo)；
（3）利用∠BOF，根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義表示出∠OPD和∠DOE即可求解．

解答：解：（1）∵|2a+b+1|+

a+2b-4

=0，
∴

2a+b+1=0 a+2b-4=0

，
解得

a=-2 b=3

．
故a、b的值分別是-2、3；

（2）①如圖1，過點C作CT⊥x軸，CS⊥y軸，垂足分別為T、S．
∵A（-2，0），B（3，0），
∴AB=5，
∵C（-1，2），
∴CT=2，CS=1，
∴△ABC的面積=

1

2

AB•CT=5，
∵△COM的面積=

1

2

△ABC的面積，
∴△COM的面積=

5

2

，即

1

2

OM•CT=

5

2

，
∴OM=2.5．
∴M的坐標(biāo)為（2.5，0）；
②存在．點M的坐標(biāo)為（0，5）或（-2.5，0）或（0，-5）；

（3）如圖2，

∠OPD

∠DOE

的值不變，理由如下：
∵CD⊥y軸，AB⊥y軸，
∴∠CDO=∠DOB=90°，
∴AB∥CD，
∴∠OPD=∠POB．
∵OF⊥OE，
∴∠POF+∠POE=90°，∠BOF+∠AOE=90°，
∵OE平分∠AOP，
∴∠POE=∠AOE，
∴∠POF=∠BOF，
∴∠OPD=∠POB=2∠BOF．
∵∠DOE+∠DOF=∠BOF+∠DOF=90°，
∴∠DOE=∠BOF，
∴∠OPD=2∠BOF=2∠DOE，
∴

∠OPD

∠DOE

=2．

點評：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，三角形的面積公式，以及角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，求點的坐標(biāo)問題常用的方法就是轉(zhuǎn)化成求線段的長的問題．