Question

設(shè)a和b是兩個(gè)自然數(shù)，考慮下述四句話：①a+1能被b整除；②a=2b+5；③a+b能被3整除；④a+7b是質(zhì)數(shù)． 已知這四句話中，只有三句話是正確的，另一句是錯(cuò)誤的，求出ab的所有可能值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)的整除性

專題：

分析：首先觀察②a=2b+5；③a+b能被3整除，其中有一個(gè)是錯(cuò)誤的，若a+b能被3整除，那么設(shè)a+b=3k（k是不為0的自然數(shù)），a+7b=a+b+6b=3k+6b能被3整除，則③④有一個(gè)是錯(cuò)誤的，根據(jù)題意只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，即③是錯(cuò)誤的，據(jù)此算出a和b的值．

解答：解：若a=2b+5，則a+b=3b+5不能被3整除，
即②，③中有一個(gè)錯(cuò)誤，
若a+b能被3整除，那么設(shè)a+b=3k（k是不為0的自然數(shù)），a+7b=a+b+6b=3k+6b能被3整除，
∴a+7b不是質(zhì)數(shù)，
∴③．④有一個(gè)錯(cuò)，
∵只有3句是正確的，
∴是③錯(cuò)，①、②、④正確．
∵a+1=2b+6能被b整除，
∴6能被b整除．a(chǎn)+7b=9b+5是質(zhì)數(shù)，
∴b是偶數(shù)，b=2或6．
∴a=9，b=2或a=17，b=6都符和條件．
∴ab=18或102．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)的整除的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是能論證出③a+b能被3整除是錯(cuò)誤的，此題有一定的難度．