Question

已知拋物線y=x²+kx+2k-4，若拋物線與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0），與y軸交于點(diǎn)C（A為定點(diǎn)且點(diǎn)A在B的左側(cè)），且S_△ABC=15．求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：首先判斷是否存在第四個(gè)交點(diǎn)，由題干條件|x₁|＜|x₂|或者|x₁|＜|x₂|，顯然拋物線的對(duì)稱軸不是y軸，即C點(diǎn)不可能是拋物線的頂點(diǎn)（因?yàn)辄c(diǎn)C不在拋物線的對(duì)稱軸上），所以解題的關(guān)鍵就轉(zhuǎn)化為如何求k的值，可以從△ABC的面積入手．先得到k的取值范圍，進(jìn)而通過△ABC的面積求出k的值．

解答：解：令y=0，有x²+kx+2k-4=0，
此一元二次方程根的判別式
△=k²-4•（2k-4）=k²-8k+16=（k-4）²，
∵無論k為什么實(shí)數(shù)，（k-4）²≥0，
方程x²+kx+2k-4=0都有解，
即拋物線總與x軸有交點(diǎn)．
由求根公式得x=

-k±|k-4|

2

，
當(dāng)k≥4時(shí)，x=

-k±(k-4)

2

，x₁=

-k+(k-4)

2

=-2，x₂=

-k-(k-4)

2

=-k+2；
當(dāng)k＜4時(shí)，x=

-k±(4-k)

2

，x₁=

-k+(4-k)

2

=-k+2，x₂=

-k-(4-k)

2

=-2．
即拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為（-2，0）和（-k+2，0），
故點(diǎn)A（-2，0）是x軸上的定點(diǎn)．
當(dāng)-2＜-k+2，即k＜4時(shí)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），B為（-k+2，0）．
即x₁=-2，x₂=-k+2．
由|x₁|＜|x₂|得-k+2＞2，解得k＜0．
根據(jù)S_△ABC=15，得

1

2

AB•OC=15．
AB=-k+2-（-2）=4-k，
OC=|2k-4|=4-2k，
∴

1

2

（4-k）（4-2k）=15，
化簡(jiǎn)整理得k²-6k-7=0，
解得k=7（舍去）或k=-1．

點(diǎn)評(píng)：該題的難度較大，主要涉及了：二次函數(shù)與方程的關(guān)系以及不等式的應(yīng)用等綜合知識(shí)，k的取值范圍的確定是本題的難點(diǎn)所在．