【題目】如圖,在ABCD中,ADAB,AM、BNCP、DQ為四個(gè)內(nèi)角的角平分線,P、為AD邊上兩點(diǎn),其中AMDQ相交于EBNCP相交于F,AMBN相交于GCPDQ相交于H

1)求證:四邊形EHFG是矩形.

2ABCD滿足  時(shí),四邊形EHFG為正方形;ABCD滿足  時(shí),F點(diǎn)落在AD邊上.(與點(diǎn)P、點(diǎn)N重合)

3)探究矩形EHFG的對角線長度與ABCD的邊長之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

【答案】1)見解析; 2)∠BAD90°,且BC2AB ;BC2AB;(3GHBCAB;證明見解析.

【解析】

1)根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義證明四邊形EHFG有三個(gè)角是直角即可;

2)由(1)可得,四邊形EHFG是矩形,若四邊形EHFG為正方形,則有一組臨邊相等即可;若F點(diǎn)落在AD邊上.(與點(diǎn)P、點(diǎn)N重合),則可得由(1)得:AFAB,DFCDAGBN,利用平行四邊形的性質(zhì)等量代換即可得到ABBC的關(guān)系.

3)連接EF、GH,由(1)(2)結(jié)論證四邊形BQDN是平行四邊形,四邊形GHQB是平行四邊形,即可得到其數(shù)量關(guān)系.

1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,

ADBC

∴∠DAB+ABC180°

AM,BN分別平分∠DAB,∠ABC,

∴∠MAB+NBA(∠DAB+ABC)=×180°90°

∴∠EGF=∠AGB90°

同理:∠EHF90°,∠GEH90°,

∴四邊形EHFG是矩形;

2ABCD滿足∠BAD90°,且BC2AB時(shí),四邊形EHFG為正方形;理由如下:

此時(shí)F點(diǎn)落在AD邊上,與點(diǎn)P、點(diǎn)N重合,如圖1所示:

由(1)得:四邊形EHFG是矩形,AGBN,

ADBC,

∴∠AFB=∠CBF

BF平分∠ABC

∴∠ABF=∠CBF,

∴∠AFB=∠ABF,

AFAB,

同理:DFCD,

AFABBE,

∵∠BAD90°,

∴△BAFABE是等腰直角三角形,

AEBF

BGFG,AGEG,

AGBFBGFG

FGEG,

∴四邊形EHFG為正方形,

故答案為:∠BAD90°,且BC2AB;

ABCD滿足BC2AB時(shí),F點(diǎn)落在AD邊上.(與點(diǎn)P、點(diǎn)N重合);理由如下:

如圖2所示:

由(1)得:AFAB,DFCDAGBN,

AFDFAB

AD2AB,

BC2AB,

故答案為:BC2AB;

3)矩形EHFG的對角線長度與ABCD的邊長之間的數(shù)量關(guān)系為GHBCAB;理由如下:如圖3所示:連接EFGH

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

ADBC,ABCDADBC,

∵四邊形EHFG是矩形,

GHEF,BNDQ,

∴四邊形BQDN是平行四邊形,

BNDQ,

同(1)(2)得:AGBN,ANAB,CQCDAB,

BGNG

同理:DHQH,

BGQH,

∴四邊形GHQB是平行四邊形,

GHBQBCCQBCAB

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在矩形ABCD中,∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,交DC的延長線于點(diǎn)F,取EF的中點(diǎn)G,連接CG,BGBD,DG,下列結(jié)論:

BECD;

②∠DGF135°

③△BEG≌△DCG;

④∠ABG+ADG180°

⑤若,則3SBDG13SDGF

其中正確的結(jié)論是_____.(請?zhí)顚懰姓_結(jié)論的序號)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某服裝店用960元購進(jìn)一批服裝,并以每件46元的價(jià)格全部售完由于服裝暢銷,服裝店又用2220元,再次以比第一次進(jìn)價(jià)多5元的價(jià)格購進(jìn)服裝,數(shù)量是第一次購進(jìn)服裝的2倍,仍以每件46元的價(jià)格出售.

該服裝店第一次購買了此種服裝多少件?

兩次出售服裝共盈利多少元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知,△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.

(1)把△ABC向下平移2個(gè)單位長度得到△A1B1C1,請畫出△A1B1C1;

(2)請畫出△A1B1C1關(guān)于y軸對稱的△A2B2C2,并寫出A2的坐標(biāo);

(3)求△ABC的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) A,B的坐標(biāo)分別為(0,3),(1,0),△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°.

(1)圖1中,點(diǎn)C的坐標(biāo)為

(2)如圖2,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)E在射線CD上,過點(diǎn)BBFBEy軸于點(diǎn)F

①當(dāng)點(diǎn)E為線段CD的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo);

②當(dāng)點(diǎn)E在第二象限時(shí),請直接寫出F點(diǎn)縱坐標(biāo)y的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某地為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,決定實(shí)行兩級收費(fèi)制,即每月用水量不超過12噸含12噸時(shí),每噸按政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價(jià)收費(fèi);每月超過12噸,超過部分每噸按市場調(diào)節(jié)價(jià)收費(fèi),小黃家1月份用水24噸,交水費(fèi)42元2月份用水20噸,交水費(fèi)32元

1求每噸水的政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價(jià)和市場調(diào)節(jié)價(jià)分別是多少元;

2設(shè)每月用水量為噸,應(yīng)交水費(fèi)為元,寫出之間的函數(shù)關(guān)系式;

3小黃家3月份用水26噸,他家應(yīng)交水費(fèi)多少元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,拋物線y=ax2+2x+cx軸交于A(﹣4,0),B(1,0)兩點(diǎn),過點(diǎn)B的直線y=kx+分別與y軸及拋物線交于點(diǎn)C,D.

(1)求直線和拋物線的表達(dá)式;

(2)動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),在x軸的負(fù)半軸上以每秒1個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),PDC為直角三角形?請直接寫出所有滿足條件的t的值;

(3)如圖2,將直線BD沿y軸向下平移4個(gè)單位后,與x軸,y軸分別交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M,在直線EF上是否存在點(diǎn)N,使DM+MN的值最?若存在,求出其最小值及點(diǎn)M,N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】奉節(jié)臍橙是重慶市奉節(jié)縣特產(chǎn),中國地理標(biāo)志產(chǎn)品,眼下,正值奉節(jié)臍橙銷售旺季,某商家看準(zhǔn)商機(jī),第一次用4800元購進(jìn)一批奉節(jié)臍橙,銷售良好,于是第二次又用12000元購進(jìn)一批奉節(jié)臍橙,但此時(shí)進(jìn)價(jià)比第一次漲了2元,所購進(jìn)的數(shù)量恰好是第一次購進(jìn)數(shù)量的兩倍.

1)求第一次購進(jìn)奉節(jié)臍橙的進(jìn)價(jià).

2)實(shí)際銷售中,兩次售價(jià)均相同,在銷售過程中,由于消費(fèi)者挑選后,果品下降,第一批奉節(jié)臍橙的最后100千克八折售出,第二批奉節(jié)臍橙的最后800千克九折售出,若售完這兩批奉節(jié)臍橙的獲利不低于9400元,則售價(jià)至少為多少元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,等腰,垂直平分,交于點(diǎn),交于點(diǎn),點(diǎn)是線段上的一動點(diǎn),若的面積是,,則的周長最小值是(

A.B.C.D.

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