Question

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小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題；如圖①，在邊長(zhǎng)為a（a＞2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當(dāng)∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時(shí)，求正方形MNPQ的面積．
小明發(fā)現(xiàn)，分別延長(zhǎng)QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形（如圖②）
請(qǐng)回答：
（Ⅰ）如圖②，AR的長(zhǎng)為

 

．
（Ⅱ）若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形（無(wú)縫隙不重疊），則這個(gè)新正方形的邊長(zhǎng)為

 

；
參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：
如圖③，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過(guò)點(diǎn)D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△RPQ．若S_△RPQ=

3

3

，則AD的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（I）直接根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；
（II）四個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為a，其拼成的正方形面積為a²，邊長(zhǎng)為a；
照小明的解題思路，對(duì)問(wèn)題做同樣的等積變換．如答圖1所示，三個(gè)等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面積和等于等邊三角形△ABC的面積，故陰影三角形△PQR的面積等于三個(gè)虛線等腰三角形的面積之和．據(jù)此列方程求出AD的長(zhǎng)度．

解答：解：（I）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EAR=90°，
∵AE=1，∠DEP=45°，
∴∠AER=∠DEP=45°，
∴∠R=45°，
∴AR=AE=1．
故答案為：1；

（II）∵四個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為a，
∴斜邊上的高為

1

2

a，
∵每個(gè)等腰直角三角形的面積為：

1

2

a•

1

2

a=

1

4

a²，
∴拼成的新正方形面積為：4×

1

4

a²=a²，即與原正方形ABCD面積相等，
∴這個(gè)新正方形的邊長(zhǎng)為a；
如答圖1所示，分別延長(zhǎng)RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，T，W．
由題意易得：△RSF，△QET，△PDW均為底角是30°的等腰三角形，其底邊長(zhǎng)均等于△ABC的邊長(zhǎng)．
不妨設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為a，則SF=AC=a．
如答圖2所示，過(guò)點(diǎn)R作RM⊥SF于點(diǎn)M，則MF=

1

2

SF=

1

2

a，
在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=

1

2

a×

3

3

=

3

6

a，
∴S_△RSF=

1

2

a•

3

6

a=

3

12

a²．
過(guò)點(diǎn)A作AN⊥SD于點(diǎn)N，設(shè)AD=AS=x，
則AN=AD•sin30°=

1

2

x，SD=2ND=2ADcos30°=

3

x，
∴S_△ADS=

1

2

SD•AN=

1

2

•

3

x•

1

2

x=

3

4

x²．
∵三個(gè)等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面積和=3S_△RSF=3×

3

12

a²=

3

4

a²，
∴S_△RPQ=S_△ADS+S_△CFT+S_△BEW=3S_△ADS，
∴

3

3

=3×

3

4

x²，得x²=

4

9

，
解得x=

2

3

或x=-

2

3

（不合題意，舍去）
∴x=

2

3

，即AD的長(zhǎng)為

2

3

．
故答案為：a，

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了的是四邊形綜合題，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，是一道好題．通過(guò)本題我們可以體會(huì)到，運(yùn)用等積變換的數(shù)學(xué)思想，不僅簡(jiǎn)化了幾何計(jì)算，而且形象直觀，易于理解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力．