Question

【題目】閱讀理解：

如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與A、B重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”．解決問題：

（1）如圖①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說明理由；

（2）如圖②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖②中畫出矩形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)；

（3）如圖③，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試確定E點(diǎn)位置．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，理由見解析；（2）見解析；（3）點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)

【解析】

（1）要證明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解．

（2）以CD為直徑畫弧，取該弧與AB的一個(gè)交點(diǎn)即為所求．

（3）由點(diǎn)E是矩形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，可求得∠BCE＝∠BCD＝30°，利用含30°角的直角三角形性質(zhì)可得BE與AB之間的數(shù)量關(guān)系．

解：（1）∵∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，

∴∠AED+∠ADE＝135°，∠AED+∠CEB＝135°

∴∠ADE＝∠CEB，

在△ADE和△BEC中，∵∠A＝∠B，∠ADE＝∠BEC，

∴△ADE∽△BEC，

∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)．

（2）如圖所示：點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)，

（3）如圖③中，

∵點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM．

由折疊可知：△ECM≌△DCM，

∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，

∴∠BCE＝∠BCD＝30°，BE＝CE＝AB．

∴點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)．