Question

已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），與直線y=2x交于點(diǎn)C、D．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）將直線y=2x沿y軸向上平移，平移后的直線與拋物線交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），若EF=

5

，試求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）G、H為線段CD上關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，且GH=2

5

，設(shè)直線y=2x沿y軸向上平移的距離為k，在平移的過(guò)程中，若線段GH與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求k的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）用等定系數(shù)法求得拋物線的解析式，再求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）先求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出b．
（3）先求出點(diǎn)H，G的坐標(biāo)，再求出當(dāng)平移2個(gè)單位時(shí)G，H正好與拋物線相交，再求出直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的k值，再求出k的范圍．

解答：解：（1）把A（-1，0）、B（3，0），代入y=-x²+bx+c得，

0=-1-b+c 0=-9+3b+c

，解得，

b=2 c=3

∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3，
∵與直線y=2x交于點(diǎn)C、D．
∴2x=-x²+2x+3，解得x=±

3

，
∴點(diǎn)C（

3

，2

3

），點(diǎn)D（-

3

，-2

3

）．
（2）設(shè)平移后的直線解析式為：y=2x+b，

y=-x2+2x+3 y=2x+b

，解得

x1= 3-b y1=2 3-b +b

，

x2=- 3-b y2=-2 3-b +b

，
∴EF=

(-2 3-b +b-2 3-b -b)2+(- 3-b - 3-b )2

=2

3-b

5

，
∵EF=

5

，
∴2

3-b

5

=

5

，
∴b=

11

4

，
∵點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

1

2

，

7

4

）．
（3）如圖，

∵G、H為線段CD上關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，GH=2

5

，
∴OH=

5

，
∵H在y=2x上，設(shè)H的坐標(biāo)為（a，2a），
∴a²+（2a）²=5，
解得，a=±1，
∴H（1，2），G（-1，-2），
當(dāng)拋物線y=-x²+2x+3，橫坐標(biāo)為-1時(shí)，y=0，橫坐標(biāo)為1時(shí)，y=4，
∴y=2x向上平移2個(gè)單位時(shí)G，H正好與拋物線相交，
∴此時(shí)k=2，
設(shè)平移后的直線解析式為：y=2x+k，
∵拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3，
∴2x+k=-x²+2x+3，
化簡(jiǎn)x²=3-k
∴只有3-k＞0，即k＜3時(shí)直線y=2x+k與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，
綜上所述只有當(dāng)2≤k＜3時(shí)，GH與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是能得出在y=2x+k向上平移的過(guò)程中點(diǎn)G，H同時(shí)在拋物線上，此時(shí)k的值為2．