Question

如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=x，AB=BC=2x，在線段AB上有一點E，∠DCE=45°，求tan∠DEC．

Answer 1

考點：直角梯形

專題：

分析：如圖，作輔助線，首先證明△BCE≌△FCG，進而證明△DCE≌△DCG，得到DE=DG=BE+DF，∠DEC=∠G；借助勾股定理及直角三角形的邊角關(guān)系即可解決問題．

解答：解：如圖，延長AD，過點C作CF⊥AD，交AD的延長線于點F；延長DF到G，使FG=BE；
∵∠A=∠B=∠CFD=90°，且AB=BC，
∴四邊形ABCF為正方形，
∴BC=CF；
在△BCE與△FCG中，

BE=FG ∠B=∠CFG BC=CF

，
∴△BCE≌△FCG（SAS），
∴CE=CG；∠BCE=∠FCG；∠BEC=∠G；
∴∠DCG=90°-∠DCE=90°-45°=45°，
∴∠DCE=∠DCG；
同理可證：△DCE≌△DCG，
∴DE=DG=BE+DF；∠DEC=∠G；
∴∠DEC=∠BEC；
設(shè)BE=m，而DF=x，
則DE=m+x；由題意得：
AE=2x-m，AD=x；
根據(jù)勾股定理：DE²=AE²+AD²，
即（x+m）²=（2x-m）²+x²
解得：m=

2

3

x，
∴tan∠DEC=tan∠BEC=

2x

2 3 x

=3，
即tan∠DEC的值為3．

點評：該命題以直角梯形為載體，以全等三角形的判定及其性質(zhì)為考查的核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造正方形及全等三角形，靈活運用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．