Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)G是BC延長線上一點(diǎn)，連接AG，分別交BD、CD于點(diǎn)E、F，連接CE．
（1）求證：∠DAE=∠DCE；
（2）求證：△ECF∽△EGC；
（3）當(dāng)AE=2EF時(shí)，判斷FG與EF有何等量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是菱形可得出△ADE≌△CDE就可證明；
（2）首先利用平行線的性質(zhì)得出∠DAE=∠G，進(jìn)而得出∠G=∠DCE，進(jìn)而得出答案；
（3）根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到△CEF∽△GEC，可得EF：EC=CE：GE，又因?yàn)椤鰽BE≌△CBE AE=2EF，就能得出FG=3EF．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；
在△ADE和△CDE中，

AD=CD ∠ADE=∠CDB DE=DE

∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE=∠DCE．

（2）證明：∵AD∥AC，
∴∠DAE=∠G，
又∵∠DAE=∠DCE，
∴∠G=∠DCE，
又∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC；

（3）解：判斷FG=3EF．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠G，
由題意知：△ADE≌△CDE
∴∠DAE=∠DCE，
則∠DCE=∠G，
∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC，
∴

EF

EC

=

EC

EG

，
∵△ADE≌△CDE，
∴AE=CE，
∵AE=2EF，
∴

EF

AE

=

1

2

，
∴EG=2AE=4EF，
∴FG=EG-EF=4EF-EF=3EF．

點(diǎn)評：此題主要考查菱形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理及性質(zhì)等知識，得出△ADE≌△CDE是解題關(guān)鍵．