Question

閱讀理解：課本在研究“圓周角和圓心角的關系”時，有以下內(nèi)容．
【議一議】如圖1，其中O為圓心，觀察圓周角∠ABC與圓心角∠AOC，它們的大小有什么關系？說說你的想法，并與同伴交流．小亮首先考慮了一種特殊情況，即∠ABC的一邊BC經(jīng)過圓心O（圖2）．
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO．
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO．
∴∠AOC=2∠ABO，
即∠ABC=

1

2

∠AOC．

如果∠ABC的兩邊都不經(jīng)過圓心O（圖1，圖3），那么結果會怎樣？你能將圖1與圖3的兩種情況分別轉化成圖2的情況去解決嗎？
自主證明：請在圖1和圖3中選擇一種情況解決上述問題（即∠ABC與∠AOC的大小關系），寫出證明過程．
拓展探究：將圖1中的弦AB繞點B旋轉，當AB與⊙O相切時（圖4），試探究∠ABC與∠BOC的大小關系？寫出你的結論，并說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：探究型

分析：自主證明：連接BO，并延長BO交⊙O于點D，由小亮的證明知：∠ABD=

1

2

∠AOD，∠CBD=

1

2

∠COD，從而可以證到∠ABC=

1

2

∠AOC．
拓展探究：延長BO交⊙O于點E，連接EC，由小亮的證明知：∠BEC=

1

2

∠BOC．根據(jù)同角的余角相等可得∠ABC=∠BEC，從而得到∠ABC=

1

2

∠BOC．

解答：解：①連接BO，并延長BO交⊙O于點D，如圖1，
由小亮的證明知：∠ABD=

1

2

∠AOD，∠CBD=

1

2

∠COD．
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD
=

1

2

∠AOD+

1

2

∠COD
=

1

2

（∠AOD+∠COD）
=

1

2

∠AOC．
②連接BO，并延長BO交⊙O于點D，如圖3，
由小亮的證明知：∠ABD=

1

2

∠AOD，∠CBD=

1

2

∠COD．
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD
=

1

2

∠AOD-

1

2

∠COD
=

1

2

（∠AOD-∠COD）
=

1

2

∠AOC．
拓展探究：∠ABC=

1

2

∠BOC，
理由如下：
延長BO交⊙O于點E，連接EC，由小亮的證明知：∠BEC=

1

2

∠BOC．
∵BA與⊙O相切于點B，
∴∠ABO=90°，即∠ABC+∠CBO=90°．
又∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BCE=90°，即∠BEC+∠CBO=90°．
∴∠ABC=∠BEC，
∴∠ABC=

1

2

∠BOC．

點評：本題考查了切線的性質、圓周角定理、同角的余角相等等知識，考查了用已有經(jīng)驗解決問題的能力，滲透了轉化思想，體現(xiàn)了自主探究與合作交流相結合的新課程理念，是一道好題．