Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CA以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜5）．

（1）填空：AB＝　 　cm；

（2）t為何值時(shí)，△PCQ與△ACB相似；

（3）如圖2，以PQ為斜邊在異于點(diǎn)C的一側(cè)作Rt△PEQ，且，連結(jié)CE，求CE．（用t的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1）cm；（2）當(dāng)t=1或秒時(shí)，△PCQ與△ACB相似；（3）CE=3+t；

【解析】

(1)利用勾股定理可求得AB.

(2)分和兩種情況討論.

(3) 過(guò)點(diǎn)作交于,先說(shuō)明△∽△，得到，用含t的代數(shù)式表示HE、CH,最后用勾股定理求出CE.

（1）AB=cm；

（2）由題意可知：,,QC=5-t

∵∠PCQ=∠ACB

∴當(dāng)或時(shí)，△PCQ與△ACB相似

當(dāng)時(shí)，，解得t=1;

當(dāng)時(shí)，，解得t=，

當(dāng)t=1或秒時(shí)，△PCQ與△ACB相似；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作交于，則

即

∴

∵

∴

△∽△

∴

∴，

∴

在中，,

即

∴

∴

故答案為：（1）cm；（2）當(dāng)t=1或秒時(shí)，△PCQ與△ACB相似；（3）CE=3+t.