Question

用30m長(zhǎng)的籬笆和相鄰兩面墻圍成如圖形狀的小花園，其中AB=CD．設(shè)BC=x（m），小花園的面積為S（m²）．求：
（1）S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）S的最大值，以及當(dāng)S達(dá)到最大值時(shí)AB，BC，CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題

分析：（1）延長(zhǎng)DC交AB于E點(diǎn)，如圖，先證明△BCE為等腰直角三角形，則BE=CE=

2

2

x，由于AB=DC=

30-x

2

=15-

1

2

x，則AE=DE=AB+BE=15-

1

2

x+

2

2

x，然后利用小花園的面積等于正方形的面積減去等腰直角三角形的面積得到S=（15-

1

2

x+

2

2

x）²-

1

2

•（

2

2

x）²=-

2 -1

2

x²+15（

2

-1）x+225；
（2）把（1）的解析式進(jìn)行配方得到S=-

2 -1

2

（x-15）²+

225( 2 +1)

2

，則根據(jù)二次函數(shù)的最值問題得到當(dāng)x=15時(shí)，S有大值為

225 2 +225

2

，然后計(jì)算15-

1

2

x得到AB和CD的長(zhǎng)．

解答：解：（1）延長(zhǎng)DC交AB于E點(diǎn)，如圖，
∵∠DCB=135°，
∴∠BCE=45°
而∠CBE=45°，
∴△BCE為等腰直角三角形，
∴BE=CE=

2

2

x，
∵AB=DC=

30-x

2

=15-

1

2

x，
∴AE=DE=AB+BE=15-

1

2

x+

2

2

x，
∴S=（15-

1

2

x+

2

2

x）²-

1

2

•（

2

2

x）²
=-

2 -1

2

x²+15（

2

-1）x+225
（2）S=-

2 -1

2

（x-15）²+

225( 2 +1)

2

，
∵a=-

2 -1

2

＜0，
∴當(dāng)x=15時(shí)，S有大值為

225 2 +225

2

，
此時(shí)BC=15cm，AB=DC=15-

1

2

x=7.5（cm）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：幾何圖形中的最值問題，幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值的討論．