Question

如圖1，在平面直角坐標系中，點A、C分別在y軸和x軸上，AB∥x軸，sinC=

4

5

，點P從O點出發(fā)，沿邊OA、AB、BC勻速運動，點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿邊CO勻速運動．點P與點Q同時出發(fā)，其中一點到達終點，另一點也隨之停止運動．設(shè)點P運動的時間為t（s），△CPQ的面積為S（cm²），已知S與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖2中曲線段OE、線段EF與曲線段FG給出．
（1）則點P的運動速度為

 

cm/s，點B、C的坐標分別為

 

，

 

；
（2）求曲線FG段的函數(shù)解析式；
（3）當t為何值時，△CPQ的面積是四邊形OABC的面積的

4

13

？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,動點問題的函數(shù)圖象

專題：

分析：（1）利用函數(shù)圖象得出QC=2時S=4，進而得出AO的長，再利用圖象變化規(guī)律得出CO的長，進而得出B，C點坐標；
（2）利用三角形面積公式以及t的不同取值范圍進而得出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用當△CPQ的面積是四邊形OABC的面積的

4

13

，則26×

4

13

=8，進而代入函數(shù)解析式求出t的值．

解答：解：（1）如圖1，過點B作BN⊥CO于點N，
由圖象可得出：當t=2秒時，S=4時，2秒后，圖象變?yōu)橐淮魏瘮?shù)，則此時P點在線段AB上移動，
∵S_△CPQ=

1

2

×QC×AO=4，QC=2時S=4，
∴AO=4，
∴點P的運動速度為2cm/s，
∵sinC=

4

5

，AO=4，
∴BN=4，則BC=5，
∴NC=3，
當4.5秒時，圖象再次發(fā)生變化，則P點在AB上移動了2.5秒，移動距離的為5cm，
故AB=5，則B（5，4），CO=8，故C（8，0），
故答案為：2，（5，4）（8，0）；

（2）當0≤t≤2時，S=

1

2

CQ×OP=t²，
故此時拋物線解析式為：S=t²；
如圖2，當2≤t≤4.5時，
S=

1

2

PM×QC
=4×

1

2

×t=2t，
故此時直線解析式為：S=2t；
如圖3，當4.5≤t≤7時，
S=

1

2

×PM×QC
=

1

2

×QC×PCsinC
=

1

2

t[5-（2t-9）]×sinC=

1

2

t[5-（2t-9）]×

4

5

，
故S=-

4

5

t²+

28

5

t；

（3）∵S_{四邊形AOCB}=

1

2

（AB+CO）×AO=

1

2

×4×（5+8）=26，
當△CPQ的面積是四邊形OABC的面積的

4

13

，則26×

4

13

=8，
∴S_△CPQ=8，
當2t=8
解得：t=4，
當8=-

4

5

t²+

28

5

t，
解得：t₁=2（不合題意舍去），t₂=5，
故t=4或t=5時，△CPQ的面積是四邊形OABC的面積的

4

13

．

點評：此題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象以及三角形面積求法和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．