Question

已知，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，過O點作OD⊥AB于點D，延長DO交⊙O于點P，作PE⊥AC與點E，射線DE交BC的延長線于點F，求證：PF是⊙O的切線．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：利用圓周角定理由AC是直徑得∠ABC=90°，由OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得AD=BD，易得OD∥BC，BC=2OD，再根據(jù)“AAS”證明△OPE≌△OAD，得到OD=OE，
則PD=AE，由于OD∥CF，可判斷△CEF為等腰三角形，則CE=CF，然后利用線段之間的代換得到PD=BF，于是可判斷四邊形PDBF為平行四邊形，得到PF∥DB，所以OP⊥PF，然后根據(jù)切線的判定定理可得PF為⊙O的切線．

解答：證明：∵AC是直徑，
∴∠ABC=90°，
∵OD⊥AB，
∴∠ADO=90°，AD=BD，
∴OD∥BC，BC=2OD，
∵PE⊥OA，
∴∠PEO=90°，
在△OPE和△OAD中，

∠PEO=∠ADO ∠POE=∠AOD OP=OA

，
∴△OPE≌△OAD（AAS），
∴OD=OE，
∴PD=AE，
∵OD∥CF，
∴CE=CF，
∴AC-AE=BC+BF，
AC-AE=2OD+BF
AC-AE=2（OP-PD）+BF，
∴AC-PD=2OP-2PD+BF，
∴PD=BF，
∴四邊形PDBF為平行四邊形，
∴PF∥DB，
∴OP⊥PF，
∴PF為⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了三角形全等的判定與性質．