Question

9．如圖，在△ABC中，BC=8cm，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線，且PD∥AB，PE∥AC．
（1）求△PDE的周長；
（2）若∠A=50°，求∠BPC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）分別利用角平分線的性質(zhì)和平行線的判定，求得△DBP和△ECP為等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周長就轉(zhuǎn)化為BC邊的長，即為8cm．
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)即可求得．

解答 解：（1）∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，
∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，
∴BD=PD，CE=PE，
∴△PDE的周長=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=8cm．
（2）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=65°，
∵∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=65°，
∴∠BPC=180°-65°=115°．

點評 此題主要考查了平行線的判定，內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)等知識點．本題的關鍵是將△PDE的周長就轉(zhuǎn)化為BC邊的長．